二重积分

二重积分把平面区域分成小块，并对每块的函数值乘面积后求和。若 $f(x,y)$ 是单位面积上的量，${\iint }_{D}fdA$ 给出区域 $D$ 上的总量；若 $f=1$，积分就是面积。对矩形分割，每小块贡献近似 $f({\xi }_{ij},{\eta }_{ij})\Delta x_i\Delta y_j$，细分极限给出积分。

从矩形走到三角形

取三角区域 $D=\{(x,y):0\le x\le 1,0\le y\le x\}$，计算 $f(x,y)=x+y$ 的积分。固定 $x$ 时，竖直小条从 $y=0$ 到 $y=x$，故 $${\iint }_D(x+y)dA={\int }_0^1[{\int }_0^x(x+y)dy]dx={\int }_0^1\frac{3}{2}{x}^{2}dx=\frac{1}{2}.$$ 若改用水平小条，$y$ 从 0 到 1，而在给定 $y$ 时 $x$ 从 $y$ 到 1，于是 $${\int }_0^1[{\int }_y^1(x+y)dx]dy={\int }_0^1(\frac{1}{2}+y-\frac{3}{2}{y}^2)dy=\frac{1}{2}.$$ 两种次序计算同一块三角形；交换次序时必须重写边界，不能只把 $dx,dy$ 对调。

斜边既是竖条的上端，也是横条的左端；换积分次序就是换扫描方向并重写边界。

可交换次序的条件与意义

连续函数在这种有界、边界分段光滑的区域上可积，并可写成上述累次积分；这是福比尼定理在初等微积分中的常见情形。对于任意有符号、存在奇点的函数，交换两个反常积分的顺序还需要更细的条件，不能从矩形连续情形无条件推广。

图中三角形的斜边 $y=x$ 同时是竖条的上边界和横条的左边界。若 $f\equiv 1$，两个写法都给 $1/2$，先核对面积有助于发现写错上下限。若 $f$ 是面密度，积分结果还要乘上相应单位：例如千克每平方米乘平方米，得到千克。圆形区域则常改用极坐标，但面积元是 $rdrd\theta$，不能遗漏径向因子。

参考资料

• OpenStax《Calculus Volume 3》§5.1：二重积分与累次积分。
• 同书 §5.2：一般区域与积分次序。