二阶段抽样

二阶段抽样先随机抽取较大的初级单位，再在被抽中的初级单位内部随机抽取最终观察对象。调查学生时，初级单位可以是学校，第二阶段单位是学生。它能减少跨校访问成本，但同校学生可能相似，因此不能把所有抽中学生当作彼此独立的简单随机样本。

四所学校的例子

设虚构总体有 4 所学校，每校 10 名学生。第一阶段从 4 校中不放回随机选 2 校；第二阶段在每所被抽中的学校中再随机选 5 人。某个学生入样必须同时满足“学校被选”和“本人在校内被选”，所以 $${\pi }_i=\frac{2}{4}\times \frac{5}{10}=\frac{1}{4},d_i=\frac{1}{{\pi }_i}=4.$$ $d_i$ 是设计权重。若两所样本学校各 5 人的平均时长分别为 4 和 6 小时，因为本例学校一样大、校内样本一样多，总体均值估计是 $(4+6)/2=5$ 小时。总时长估计为样本 10 人时长之和乘权重 4，即 $10(5)\times 4=200$ 人小时；除以总体 40 人仍得 5 小时。

二阶段抽样的随机性有学校和学生两层，方差也有层间与层内两部分。

均值的无偏性

把第 $j$ 所学校全部 10 人的真实均值记为 ${\overline{Y}}_j$，其抽中 5 人的均值记为 ${\overline{y}}_j$。先固定第一阶段抽中的学校，校内简单随机抽样满足 $E_2({\overline{y}}_j\mid j\text{ 被抽中})={\overline{Y}}_j$。所以对第二阶段取期望，$\hat{\overline{Y}}=(1/2)\sum _{j\in s_1}{\overline{y}}_j$ 变成两所样本学校真实均值的平均；再对学校的随机抽取取期望，就得到四所学校均值的平均。由于每校同为 10 人，这也正是 40 人的总体均值。

若学校大小不同，直接平均学校均值会给小校和大校相同权重，不一定估计学生总体均值；此时应根据两阶段的入样概率计算加权总量，再除以已知总学生数，或明确采用适合未知总人数的比率估计。

方差的两层来源

仍设有 $K$ 所等大学校、每校 $M$ 人，第一阶段抽 $k$ 校、第二阶段每校抽 $m$ 人。令 $S_B^2$ 为各校真实均值之间按 $K-1$ 为分母的有限总体方差，$S_j^2$ 为第 $j$ 校内按 $M-1$ 为分母的方差。全期望方差公式给出 $$\mathrm{Var}(\hat{\overline{Y}})=(1-\frac{k}{K})\frac{S_B^2}{k}+\frac{1}{k}(1-\frac{m}{M})\frac{1}{mK}\sum _{j=1}^K{S}_j^2.$$ 第一项来自选到哪些学校；第二项来自被选学校里又选到哪些学生。推导时先计算给定学校集合下校内均值的方差 $k^{-2}\sum _{j\in s_1}(1-m/M)S_j^2/m$，再对学校样本取期望，得到第二项；条件均值本身的方差给第一项。只抽一所学校时，单凭这一次调查甚至难以可靠估计学校之间的差异。扩展到区县→学校→班级→学生是多阶段抽样，每增加一阶段，都要记录条件入样概率并检查权重。

参考资料

• 加拿大统计局：《Survey Methods and Practices》，整群与多阶段抽样。
• 加拿大统计局：概率抽样中的多阶段设计。