代数重数

代数重数（algebraic multiplicity）是一个特征值作为特征多项式之根的重复次数。设 $p_A(t)=det(tI-A)$，若 $$p_A(t)=(t-\lambda {)}^{r}q(t),q(\lambda )\ne 0,$$ 则称 $\lambda$ 的代数重数为 $r$。这个定义数的是多项式因子，不是线性无关特征向量的个数；后一个数称几何重数。

例如 $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$ 为上三角矩阵，所以 $$p_A(t)=(t-2{)}^2(t+1).$$ 二的代数重数为二，负一的代数重数为一。尽管矩阵里只有一个非零的非对角元，它也会影响特征向量；不能由对角元重复次数直接假定有同样多的特征方向。

上三角矩阵中的计数

对上三角矩阵，$tI-A$ 仍为上三角，其行列式等于对角元之积，因此 $$p_A(t)=\prod _{j=1}^n(t-a_{jj}).$$ 这证明在此情形中，数值 $\lambda$ 在对角线上出现几次，就有几次代数重数。对一般复方阵，可以先作相似上三角化；因为 $$det(tI-P^{-1}AP)=det(P^{-1}(tI-A)P)=p_A(t),$$ 特征多项式和根的代数重数在相似变换下不变。上三角化需要数域中有足够的特征值；实矩阵可能须进入复数域讨论全部根。

重数与微分判别

对实或复多项式，根 $\lambda$ 的重数为 $r$，等价于 $$\begin{array}{cc}p(\lambda )& =p^{\prime }(\lambda )=\cdots =p^{(r-1)}(\lambda )=0,\\ p^{(r)}(\lambda )& \ne 0.\end{array}$$ 把 $p(t)=(t-\lambda {)}^{r}q(t)$ 作 Taylor 展开，最低非零项就是 $q(\lambda )(t-\lambda {)}^r$，其 $r$ 阶导数为 $r!q(\lambda )$，证明这个判别。在正特征的数域中，阶乘可能为零，不能不加条件照搬此导数形式。

主例中令 $h=t-2$，有 $p_A(2+h)=h^2(3+h)=3h^2+h^3$，因此二是二重根，且 ${p_A}^{″}(2)=6$。

与几何重数、约旦块的关系

主例解 $(A-2I)x=0$，得 $x_2=x_3=0$，只有一个独立特征方向，所以二的几何重数是一。将矩阵改为 $\mathrm{diag}(2,2,-1)$ 后，特征多项式不变，二的几何重数却成为二。因而代数重数单独不足以决定相似类型或能否对角化。

用约旦形式描述时，固定特征值的代数重数等于所有相应块的尺寸之和；几何重数等于这些块的个数，最小多项式中相应因子的指数则是最大块尺寸。因为每个块贡献 $(t-\lambda {)}^{\text{尺寸}}$，块行列式相乘便证明了第一个结论。

迹、行列式与数域

在复数域中把全部特征值按代数重数重复排列为 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$，则 $$\mathrm{tr}A=\sum _j{\lambda }_j,detA=\prod _j{\lambda }_j.$$ 可以在相似上三角矩阵中分别读取对角和、对角积来证明。主例的迹为三，等于 $2+2-1$；行列式为负四，等于 $2\cdot 2\cdot (-1)$。若只把不同特征值各算一次，这两个恒等式都可能出错。

变式取实旋转矩阵 $R=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$，$p_R=t^2+1$。在实数域中没有特征值；在复数域中有 $i,-i$，各为单根。迹零和行列式一仍由这两个复根正确恢复。讨论代数重数时，应先说明在哪个数域中分解多项式。

参考文献

Sheldon Axler，Linear Algebra Done Right，第四版，§5C（上三角化）、8B、8D（重数、迹）；本文例子与图解独立构造。