全局敏感性分析

全局敏感性分析（global sensitivity analysis）在给定的输入范围、可行约束或概率分布下，研究各输入对模型输出变化的影响。它让输入在整个研究范围内变化，考察非线性和相互作用；局部敏感性分析则通常围绕一个指定基点作微小扰动。全局结论仍以所选模型、输入范围和输出指标为条件，并非与设定无关的普遍排名。

输入范围与研究对象

先看 $g(x,y)=x+10y$。若 $x\in [0,100]$、$y\in [0,1]$，将一个输入走完整个范围而固定另一个，输出变化分别是一百和十。虽然 $y$ 前的系数更大，在这些范围下，$x$ 却能造成更大的全范围变化。

把两个输入归一化为 $s=x/100$、$t=y$ 后，模型变成 $g=100s+10t$，二者都在零到一之间变化。范围信息进入了系数，比较才有统一基准。如果改换原始范围，排名可能改变。若还要比较输出方差的贡献，则必须另外说明输入在范围内怎样分布、是否相互依赖；范围本身不是概率分布。

同一个系统也可能有不同的输出目标。例如峰值温度与平均温度、总费用与超预算概率，可能由不同因素主导。开始计算前，应固定所分析的标量输出、单位、参数范围和约束；随机模拟还要说明重复运行或噪声处理方式。

一次改变一个输入的基本效应

考虑一个无单位的合成模型 $$f(s,t)=s+t+st,(s,t)\in [0,1{]}^2.$$ 项 $st$ 表示一种相互作用：增加 $s$ 的效果会随着 $t$ 改变。固定 $t$，令 $s$ 增加非零步长 $\Delta$，定义基本效应 $$E{E}_s(s,t;\Delta )=\frac{f(s+\Delta ,t)-f(s,t)}{\Delta },$$ 其中改变前后的点都须在允许范围内。对本模型逐项相减，$\Delta$ 和 $t\Delta$ 留下，故 $E{E}_s=1+t$。同理 $E{E}_t=1+s$。这已经说明只在一个基点计算，会漏掉背景输入变化带来的影响。

用两个短路径把计算写出来。步长取一；第一条路径先改变 $s$，第二条先改变 $t$：

路径	点与输出	两次基本效应
A	$(0,0):0\to (1,0):1\to (1,1):3$	$E{E}_s=1,E{E}_t=2$
B	$(0,0):0\to (0,1):1\to (1,1):3$	$E{E}_t=1,E{E}_s=2$

每条路径每一步只改一个输入，但两条路径把其他输入放在不同背景下。四个角点足以复算全部数字。

不同路径为同一输入提供不同背景。两条路径是用于手算的简化设计，不是充分的随机筛选实验。

Morris 筛选中的汇总量

Morris 方法在输入空间的多个基点安排逐项变化的轨迹，收集每个输入的基本效应，用较少模型计算筛选可能重要的因素。实际设计还包括网格、步长、随机轨迹和必要的轨迹选择。上面的两条路径只展示它的计算原理；两次效应不足以支持复杂模型的可靠排名。

设某个输入取得 $r\ge 2$ 个基本效应 $E{E}^{(1)},\dots ,E{E}^{(r)}$，常用汇总量为 $$\mu =\frac{1}{r}\sum _{j=1}^{r}E{E}^{(j)},{\mu }^{\ast }=\frac{1}{r}\sum _{j=1}^r|E{E}^{(j)}|,\sigma =\sqrt{\frac{1}{r-1}\sum _{j=1}^r(E{E}^{(j)}-\mu {)}^2}.$$ 这里的 $\sigma$ 使用样本标准差约定。$\mu$ 保留方向，正负效应可能抵消；${\mu }^{\ast }$ 先逐项取绝对值再平均，不能写成 $|\mu |$。例如效应为 $-2,2$ 时，$\mu =0$ 而 ${\mu }^{\ast }=2$。

对手算模型，两输入取得的效应都是一和二。因此 $${\mu }_s={\mu }_t={\mu }_s^{\ast }={\mu }_t^{\ast }=\frac{3}{2},{\sigma }_s={\sigma }_t=\frac{1}{\sqrt{2}}.$$ 较大的效应绝对值提示该输入值得保留；效应随基点变化，则提示非线性或相互作用。但 $\sigma$ 不把两者分开，也不是输出方差被某个输入“解释的百分比”。

非线性与相互作用的区分

主例的四角混合差分为 $$f(1,1)-f(1,0)-f(0,1)+f(0,0)=3-1-1+0=1.$$ 它比较了“先改变一个输入后的效果”与“未改变它时的效果”。若模型能写成 $a(s)+b(t)$，这四项会逐对抵消；主例留下的一正是乘积项的贡献。零混合差分只说明所选矩形上发生了抵消，不能单凭一次计算证明整个模型没有相互作用。

另一方面，一元函数 $h(s)=s^2$ 根本没有第二个输入。以 $\Delta =1/2$ 从零走到二分之一，再走到一，基本效应分别是 $$\frac{(1/2{)}^2-0^2}{1/2}=\frac{1}{2},\frac{1^2-(1/2{)}^2}{1/2}=\frac{3}{2}.$$ 效应也发生变化，但来源只是单变量曲率。因而筛选图中较大的 $\sigma$ 只能提示进一步检查，不能直接宣布“发现交互”。

相同输入步长产生不同基本效应，即使只有一个输入也会出现。

四角例子的 Python 实现

以下代码只实现本篇两输入、四角点的演示。输入是能接收两个实数的确定性函数，要求四角输出能转换为有限浮点数，效应与返回统计量也须能由浮点数表示。返回四角值，以及两输入的效应、均值、绝对均值和样本标准差；无法表示的中间效应或结果会报错。不改写外部输入，共调用模型四次；缓存共同端点避免两条路径重复计算。四角取样不能检出只在内部发生的变化，例如 $s(1-s)t(1-t)$ 在四角全为零。

Python 3

import math
from statistics import fmean, stdev

def corner_screen(model):
    values = {}
    for s, t in ((0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1)):
        value = float(model(s, t))
        if not math.isfinite(value):
            raise ValueError("corner outputs must be finite")
        values[s, t] = value
    effects = {
        "s": [values[1, 0] - values[0, 0],
              values[1, 1] - values[0, 1]],
        "t": [values[0, 1] - values[0, 0],
              values[1, 1] - values[1, 0]],
    }
    summary = {}
    for name, ee in effects.items():
        if not all(math.isfinite(v) for v in ee):
            raise ValueError("elementary effect exceeds float range")
        scale = max(abs(v) for v in ee)
        normalized = [v / scale for v in ee] if scale else [0.0, 0.0]
        mu = scale * fmean(normalized)
        mu_star = scale * fmean(abs(v) for v in normalized)
        sigma = scale * stdev(normalized)
        if not all(math.isfinite(v) for v in (mu, mu_star, sigma)):
            raise ValueError("summary exceeds float range")
        summary[name] = {
            "effects": ee,
            "mu": mu,
            "mu_star": mu_star,
            "sigma": sigma,
        }
    return values, summary

corners, result = corner_screen(lambda s, t: s + t + s * t)
print(corners)
print(result)

对这里固定的两维设计，除模型内部成本外，时间和额外空间均为 $O(1)$。更一般的 $d$ 输入、$r$ 条逐项轨迹，在不复用点时需要 $r(d+1)$ 次模型运行，而不是 $rd$：每条轨迹还需要一个起点。模型很昂贵时，应先做适量重复和收敛检查，再决定是否精细估计。

从筛选走向概率贡献

筛选的作用是缩小后续研究范围。若需要“在给定不确定性下，某输入单独及联合贡献了多少输出方差”，可以采用索博尔指数；它需要平方可积的输出，经典方差分解还以独立输入为前提。若关心尾部风险或阈值跨越，仅看整体方差也可能不合目标。

存在相关性或物理约束时，逐项改变输入可能产生不允许的组合。例如各成分占比总和为一，单独增加一项而不调整其他项就离开了可行域。此时应明确可行参数化、联合分布或分组变化规则，不能把不可实现的点当作系统预测。若模拟本身有随机噪声，还应区分输入变化的效应与重复运行的波动。

作为变式，将主例改为 $f(s,t)=s+t$，两输入的四角基本效应都为一，故 $\mu ={\mu }^{\ast }=1$、$\sigma =0$，混合差分也为零。这能检验程序是否把加性模型与原来的乘积相互作用区别开。