局部敏感性分析

局部敏感性分析（local sensitivity analysis）研究模型在指定基点附近，输入的微小变化会引起多大的输出变化。对可微模型，它用偏导数或雅可比矩阵表示一阶响应。这个响应依赖基点、保持不变的条件和变量单位；它既不是整个输入范围内的重要性排名，也不自动给出观测数据中的因果关系。

串联电路中的一次变化

取一个理想直流电路，电源电压为 $V$，两个固定温度下的欧姆电阻 $R_1,R_2>0$ 串联，忽略电源内阻。电流模型为 $$I(V,R_1,R_2)=\frac{V}{R_1+R_2}.$$ 以下用 $V=12\mathrm{V}$、$R_1=10\Omega$、$R_2=20\Omega$ 作为教学基点，得到 $I_0=0.4\mathrm{A}$。要判断第一只电阻增加一点时的变化，先保持电压和第二只电阻不变： $$\frac{\partial I}{\partial R_1}=-\frac{V}{(R_1+R_2{)}^2}=-\frac{1}{75}\mathrm{A}/\Omega .$$ 负号表示电阻增加会使电流下降，数值表示在该基点附近，每增加一欧姆，电流约下降 $0.0133333\mathrm{A}$。这是切线斜率的解释，不是对任意增量都精确成立的比例律。

例如把 $R_1$ 从十欧姆改为十一欧姆，一阶预测为 $$I_{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}}=0.4-\frac{1}{75}\times 1\approx 0.3866667\mathrm{A}.$$ 重新计算模型则为 $I_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}}=12/31\approx 0.3870968\mathrm{A}$，二者相差约 $0.0004301\mathrm{A}$。下图在同一基点比较原曲线和切线；离开基点越远，曲率造成的差别越明显。

电压固定为十二伏，第二只电阻固定为二十欧姆。标出的两个近邻值对应正文的一欧姆扰动。

导数、线性化与余项

一般地，令输入向量为 $p=(p_1,\dots ,p_d)$，标量输出为 $f(p)$，基点 $p_0$ 位于定义域内部。若 $f$ 在该点可微，则 $$f(p_0+\delta p)=f(p_0)+\sum _{i=1}^d{S}_i\delta p_i+o(\Vert \delta p\Vert ),S_i=\frac{\partial f}{\partial p_i}(p_0).$$ 这里的小 o 表示余项除以扰动长度后趋于零。只存在各个偏导数并不足以保证这个联合近似；可微性才保证所有足够小方向上的线性化。输出是多维向量时，将各输出对各输入的偏导数排成雅可比矩阵，一阶变化写成 $J\delta p$。

在电路例子中，三个绝对敏感度是 $$S_V=\frac{1}{30}\mathrm{A}/\mathrm{V},S_{R_1}=S_{R_2}=-\frac{1}{75}\mathrm{A}/\Omega .$$ 因此多个小变化同时发生时，预测电流增量为 $$\delta I\approx \frac{\delta V}{30}-\frac{\delta R_1+\delta R_2}{75},$$ 其中电压和电阻的数值分别按伏和欧姆代入。系数有不同单位，不能只比较它们的数字大小就判断哪个输入“更重要”。

这个例子还能精确算出一种余项。设总电阻原为 $R>0$，电压固定，总电阻改变 $\delta$，且 $R+\delta >0$。同分母展开得 $$\frac{V}{R+\delta }-(\frac{V}{R}-\frac{V\delta }{R^2})=\frac{V{\delta }^2}{R^2(R+\delta )}.$$ 将右边与实际输出 $V/(R+\delta )$ 相除，在 $V\ne 0$ 时，线性近似的绝对相对误差恰为 ${\delta }^2/R^2$。前例为 $1/900$，约百分之零点一一。误差为二次量，解释了足够小扰动时一阶近似的作用；当总电阻接近零时，原模型本身也显露奇异性。

相对敏感度与单位变换

若基点的 $p_i\ne 0$ 且 $f(p_0)\ne 0$，定义相对敏感度或弹性 $$E_i=\frac{p_i}{f(p_0)}{S}_i.$$ 它没有单位，将一阶关系改写成 $$\frac{\delta f}{f(p_0)}\approx \sum _i{E}_i\frac{\delta p_i}{p_i}.$$ 当参数和输出均为正时，也可写成 $E_i=\partial \ln f/\partial \ln p_i$。这不是任意有限百分比变化的精确等式。

电路中的相对敏感度为 $$E_V=1,E_{R_1}=-\frac{1}{3},E_{R_2}=-\frac{2}{3}.$$ 所以电压单独增加百分之一，电流约增加百分之一；第一、第二只电阻各自单独增加百分之一，电流分别约下降百分之三分之一和百分之三分之二。两只电阻对“增加同样一欧姆”的响应相等，但对“增加同样百分比”的响应不同，因为原始电阻并不相等。

柱长比较相同相对输入变化的一阶效应；正负号保留响应方向。

把电阻的数值单位从欧姆改为千欧姆，绝对导数会变为原来的千倍，而参数数值变为原来的千分之一，乘积 $p_i{S}_i$ 不变。因此相对敏感度对这种乘法单位换算不变。若输出或参数基值为零，前面的除法没有定义，应报告绝对导数，或明确另选的参考尺度；不能把无定义的比值填写为零。

方向、约束与不确定度

偏导数固定其他输入。若实际变化受到约束，必须沿允许的方向计算。例如保持总电阻三十欧姆，令 $R_2=30-R_1$，则 $$\frac{dI}{d{R}_1}=\frac{\partial I}{\partial R_1}+\frac{\partial I}{\partial R_2}\frac{d{R}_2}{d{R}_1}=-\frac{1}{75}+\frac{1}{75}=0.$$ 两种结论并不冲突：一欧姆的单独增加与两只电阻之间的一欧姆转移，是不同的实验。

若输入在基点附近随机变化，协方差矩阵为 $\Sigma$，则在线性近似有效、相关二阶矩存在的条件下，有常用的不确定度传播近似 $$\mathrm{Var}(f)\approx J\Sigma J^{𝖳}.$$ 这是把线性化代入方差公式所得，忽略了非线性余项；不能将其当作任意大输入不确定度下的精确式。协方差与线性近似的适用性也是不确定度传播中需要保留的条件。例如只让两只电阻有独立的小波动，标准差各为 $0.3\Omega$，电流标准差近似为 $$\sqrt{\frac{0.3^2+0.3^2}{75^2}}\approx 0.005657\mathrm{A}.$$ 若两电阻波动始终等大反向，总电阻不变，此时协方差交叉项恰好抵消；漏掉它们就会错误地预测电流波动。

最后，局部导数为零只说明一阶项为零。例如 $f(x)=x^2$ 在零处导数为零，但有限改变 $x$ 会产生 $x^2$ 的输出。对较宽范围、非单调关系或相互作用，需要全局敏感性分析。方差贡献的概率定义另见索博尔指数。这些方法回答的问题不同，不能直接用局部导数替代。