全概率公式

把所有可能情形分成互不重叠的几类，常比直接数目标事件容易。若 $B_1,\dots ,B_k$ 两两不交、并为整个样本空间，且各 $P(B_i)>0$，则全概率公式为 $$P(A)=\sum _{i=1}^{k}P(A\mid B_i)P(B_i).$$ 各项都是“落在第 $i$ 类且发生 $A$”的概率。证明是将 $A$ 拆成互不重叠的 $A\cap B_i$，再对每块用条件概率的乘法公式。

按来源合并次品率

两台设备供应产品，甲占 70%，次品率 2%；乙占 30%，次品率 5%。随机拿一件，次品概率为 $$P(D)=0.7(0.02)+0.3(0.05)=\mathrm{0.029.}$$ 不能把 2% 与 5% 简单取平均，因为两种来源在总体中的份额不同。若已知产品是次品，问其来自乙的概率，则需进一步用贝叶斯公式：$P(\text{乙}\mid D)=0.3(0.05)/0.029\approx 0.517$。

无限划分与边界

若有可数多个两两不交的 $B_i$ 覆盖样本空间，公式改为无穷和，依赖概率的可列可加性。若几类有重叠，直接相加会重复计算交叠部分；先使它们构成一个真正的划分，或改用容斥原理。概率为 0 的分组不应硬塞入条件概率分式。

参考资料

• MIT 18.05，Conditional Probability 讲义。
• MIT 6.041，概率论讲义。
• 继续阅读：条件概率、贝叶斯定理、容斥原理。