共形映射

共形映射（conformal mapping）保持曲线相交处的角度和方向。在复平面上，全纯函数只要导数不为零，就在该点附近具有这种性质：把足够小的图形作同一比例的伸缩，再旋转，而不是把一个方向压扁、另一个方向拉长。

这里采用保持有向角的约定。复共轭把图形镜像，保持角度的大小，却反转方向，称为反共形映射。有些教材把“共形映射”专指区域之间一一对应的保角映射；下面把局部性质与全局的一一对应条件分别说明。

非零复导数的几何意义

设 $f$ 在 $a$ 的邻域内全纯，而且 $c=f^{\prime }(a)\ne 0$。导数定义给出 $$f(a+h)=f(a)+ch+o(|h|).$$ 写成 $c=\rho e^{i\theta }$，其中 $\rho >0$。一阶近似中的乘法使每条切向量都旋转 $\theta$、长度都乘以 $\rho$。若两条可微曲线经过 $a$，且切向量为非零的 $u,v$，其像曲线的切向量便是 $cu,cv$。由于 $$\frac{cv}{cu}=\frac{v}{u},$$ 从第一条切线转到第二条切线的有向角不变。角度是由切线定义的，有限大小图形的边长、面积和曲率仍可能明显改变。

反过来，设一个实可微平面映射的导数矩阵可逆，且保持所有有向角。其两列必须垂直。再比较向量 $(1,1)$ 和 $(1,-1)$ 的直角，得到两列长度相等；保持方向要求行列式为正。因此导数必为 $$\left(\begin{array}{cc}p& -q\\ q& p\end{array}\right),p^2+q^2>0.$$ 这正是乘以非零复数 $p+iq$ 的矩阵，满足柯西—黎曼方程。局部保角因而与非退化的复线性一阶近似相联系。

平方映射的切线计算

取 $f(z)=z^2$、$a=1+i$。像点为 $2i$，导数为 $2+2i$。因此局部伸缩比例为 $2\sqrt{2}$，旋转角为 $\pi /4$。

在原像点 $a$ 处画两条相交直线，切向量分别取一和 $i$。它们的像切向量是 $$\begin{array}{cc}(2+2i)\cdot 1& =2+2i,\\ (2+2i)\cdot i& =-2+2i.\end{array}$$ 对应实向量的内积为 $2(-2)+2\cdot 2=0$，长度都为 $2\sqrt{2}$。按此顺序组成的行列式为八，仍是正向的直角。

图中只画切向量，均平移到同一原点比较；它们实际附着在像点f(1+i)=2i上。两向量同时旋转45度并伸长2倍根号2。

直接展开也能检查近似误差： $$(a+h{)}^2=a^2+2ah+h^2.$$ 最后一项相对于 $|h|$ 的比值为 $|h|$，随 $h\to 0$ 消失。因此上述切线计算确实描述无穷小图形，而非只是一张示意图。

临界点与全局重叠

在零处，平方映射的导数为零，切向量的一阶像全部消失。取出发角分别为零和 $\pi /4$ 的两条射线，平方后角度变成零和 $\pi /2$，夹角由45度变成90度，故零不是共形点。

在去心平面，每一点都满足导数非零，却有 $f(z)=f(-z)$。所以 $z^2$ 在那里处处局部共形，并非从整个去心平面到自身的双全纯对应。限制到右半平面后，若两个点平方相同，它们相等或互为相反数；后者不能同时处于右半平面。因此这一限制是一一对应的，并在其像区域上有全纯逆映射。

变式。 对 $g(z)=e^z$，导数处处非零。在 $a=\log 2+i\pi /2$，导数为 $2i$，局部把长度乘二、旋转90度。但 $e^{z+2\pi i}=e^z$，所以在整个复平面仍不是一一对应。确定某个共形对应时，必须同时写清定义域、像域和是否要求全局单射。

参考文献

Jiří Lebl，Guide to Cultivating Complex Analysis，1.9，2026-07-11，§2.2.4（有向保角的矩阵刻画与非零复导数）。