冯米塞斯分布

冯米塞斯分布（von Mises distribution）是定义在圆周上的连续概率分布，用平均方向 $\mu$ 和集中参数 $\kappa$ 描述角度。角度相差整圈表示同一方向，例如 $179^{\circ }$ 与 $-179^{\circ }$ 很接近；把它们当普通实数求平均，却会错误地得到零度。

圆周上的密度

所有三角函数中的角度以弧度计。取任意长度为 $2\pi$ 的代表区间，定义 $$f(\theta \mid \mu ,\kappa )=\frac{e^{\kappa \cos (\theta -\mu )}}{2\pi I_0(\kappa )},\kappa \ge 0.$$ $\mu$ 按模 $2\pi$ 识别，$I_0$ 是零阶第一类修正贝塞尔函数。在这里也可以直接用积分定义归一化因子： $$I_0(\kappa )=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{e}^{\kappa \cos u}\mathrm{d}u.$$ 代换 $u=\theta -\mu$ 并使用周期性，就证明任意一整圈上的密度积分为一。

$\kappa =0$ 时为圆周均匀分布，平均方向不再可识别。增大 $\kappa$ 会使质量更集中在 $\mu$ 附近。$\kappa$ 不是以弧度平方计的方差；只有大 $\kappa$ 下，利用 $\cos u=1-u^2/2+O(u^4)$，局部密度才近似方差为 $1/\kappa$ 的正态形状。

横轴是一整圈的角度代表值。左右端点属于同一方向；参数为零的水平线是圆周均匀密度。

向量平均与圆方差

把角度映成单位向量 $(\cos \theta ,\sin \theta )$，才可在相邻于分界线的方向之间正确求平均。令 $$C=\frac{1}{n}\sum _i\cos {\theta }_i,S=\frac{1}{n}\sum _i\sin {\theta }_i,\overline{R}=\sqrt{C^2+S^2}.$$ 当 $\overline{R}>0$ 时，样本平均方向是 $\mathrm{atan2}(S,C)$，其中双参数反正切负责区分象限。若向量和为零，方向没有定义，而不是自动等于零。

对分布本身，可由对称性得到 $𝔼[\sin (\Theta -\mu )]=0$，并由积分得 $$𝔼[\cos (\Theta -\mu )]=\frac{I_1(\kappa )}{I_0(\kappa )},I_1(\kappa )=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos u{e}^{\kappa \cos u}\mathrm{d}u.$$ 因而平均向量是 $\frac{I_1(\kappa )}{I_0(\kappa )}(\cos \mu ,\sin \mu )$。其长度衡量方向集中程度，常把一减该长度称圆方差。角度在代表区间上的普通方差，会受到分界点位置影响，不能替代这个量。

两个跨越分界线的观测

取教学观测 $170^{\circ },-170^{\circ }$。两个正弦抵消，两个余弦都为 $-\cos 10^{\circ }$，故 $C=-\cos 10^{\circ },S=0$。向量平均方向是 $180^{\circ }$，合向量长度为 $\cos 10^{\circ }\approx 0.9848$，显示两方向很接近。

两个观测的向量平均指向左侧。普通算术平均零度指向相反一侧，失去了圆周邻接关系。

固定 $\kappa >0$ 时，独立样本对 $\mu$ 的对数似然中只有 $\kappa \sum _i\cos ({\theta }_i-\mu )$ 随 $\mu$ 改变。用余弦差角公式，它等于 $n\kappa (C\cos \mu +S\sin \mu )$，当单位方向与 $(C,S)$ 同向时最大。因此样本圆均值也是这一模型下的平均方向最大似然估计。

变式。 两个观测改为零度和一百八十度，合向量为零；上述似然对 $\mu$ 恒定，任何方向都达到同一值。再多保留小数并不能解决这种由数据对称性造成的不确定性。

圆周数据的适用范围

此分布是单峰、关于平均方向对称的模型。相反方向分别有一群观测时，平均向量可能很短，不能据此断言观测“均匀”。方位线若没有箭头，零度与一百八十度也应识别为同一条轴，可先对角度加倍作轴向分析；直接按有向角模型拟合，会改变观测对象。