切线与半径垂直

设直线 $t$ 与圆恰有一个公共点 $T$ 。这条切线必垂直于半径 $O T$ ；反过来，过 $T$ 且垂直 $O T$ 的直线确实只碰圆一次。因此圆在 $T$ 只有一条切线，圆心也在过 $T$ 的切线垂线上。它涵盖《几何原本》第三卷命题 16 的切线推论，以及命题 18、19。

垂直的直线确实只碰一次

把 $O$ 放在原点、 $T = (R, 0)$ ，垂直 $O T$ 的直线是 $x = R$ 。直线上 $(R, y)$ 到圆心的距离平方为 $R^{2} + y^{2}$ ，只在 $y = 0$ 等于 $R^{2}$ ，故只在 $T$ 碰圆。

别的直线为什么不能是切线

任一过 $T$ 的非竖直直线可写成 $y = m (x - R)$ 。代入 $x^{2} + y^{2} = R^{2}$ ，一个解是 $x = R$ ；另一个解为 $x = R \frac{m^{2} - 1}{m^{2} + 1} .$ 当斜率 $m$ 有限时，这个值严格小于 $R$ ，所以还在另一点割圆。于是唯一切线是竖线 $x = R$ ，它与半径垂直。一般位置可通过平移和旋转还原，圆心必位于切点处的法线上。

原典命题 16 还用“切线与圆弧之间放不下一条直线”描述接触的局部形状。在现代语言里，圆弧近 $T$ 的横向离差为 $R - \sqrt{R^{2} - y^{2}} \sim y^{2} / (2 R)$ ，而倾斜直线的离差是一阶的；不能把原典的曲线角误当作普通直线角的数值。图中直角记号标出半径与切线，斜线则在另一处割圆。

圆右侧切点T的竖直切线垂直半径OT，另一条倾斜线从T进入圆内 — 过切点垂直半径的线是唯一切线。

参考资料