切锥

切锥（tangent cone）描述一个集合在指定点附近允许的一阶运动方向。边界上的点可能无法沿某个方向走出一段直线，却能沿弯曲的可行路径获得相同的初速度；切锥把这样的极限方向也包括在内。它用于表达约束优化的一阶条件，以及带状态约束的动力系统在边界附近的运动限制。

切锥有不同定义。本文采用有限维欧氏空间中的Bouligand切锥（contingent cone）；在一般非凸集合上，它与Clarke切锥等概念需要区分。

圆盘边界上的运动

设可行集合为单位闭圆盘 $$C=\{(x_1,x_2):x_1^2+x_2^2\le 1\},$$ 当前点为 $\overline{x}=(1,0)$。向左的速度 $(-1,0)$ 可以直接沿可行线段实现，向右的速度 $(1,0)$ 则立刻离开圆盘。

竖直方向 $v=(0,1)$ 更能说明极限的作用。直线点 $(1,t)$ 对每个 $t>0$ 都在圆盘外，但圆周路径 $$x(t)=(\sqrt{1-t^2},t)(0<t<1)$$ 始终可行，并且 $$\frac{x(t)-\overline{x}}{t}=(-\frac{t}{1+\sqrt{1-t^2}},1)⟶(0,1).$$ 因此竖直方向仍属于切锥。它记录路径的一阶速度，路径本身允许有二阶的向内修正。

淡金色半平面把切锥平移至基点，箭头表示速度方向。边界点附近的圆周位移趋近竖直方向，解释了切锥包含边界方向的原因。

序列定义

设 $C\subseteq {ℝ}^n$、$\overline{x}\in C$。若存在正数序列 $t_j$ 和点列 $x_j\in C$，使 $$\begin{array}{cc}{t}_j& \downarrow 0,\\ \frac{x_j-\overline{x}}{t_j}& ⟶v,\end{array}$$ 就称 $v$ 属于 $T_C(\overline{x})$。这里 $x_j\to \overline{x}$ 随之成立。极限存在的含义是，越来越小的可行位移经过相应缩放后，可以逼近速度 $v$。这种切锥的序列定义与集合极限形式可见Hare与Lewis的论文。

若 $v$ 是切向量，则任意非负倍数也是切向量：正倍数可通过重新缩放 $t_j$ 得到，零向量可取恒定点列 $x_j=\overline{x}$。一般集合的切锥是闭锥，但未必是凸锥。

对圆盘主例，设 $x_j=\overline{x}+t_j{v}_j$ 且 $v_j\to v$。可行性给出 $$2t_j(v_j{)}_1+t_j^2\Vert v_j{\Vert }^2\le 0.$$ 除以 $t_j>0$ 并取极限，得到 $v_1\le 0$。反过来，$v_1<0$ 的方向沿足够短的直线段可行；$v_1=0$ 的方向可用前述圆周路径，把第二坐标改为 $t{v}_2$ 来实现。故 $$T_C(1,0)=\{v\in {ℝ}^2:v_1\le 0\}.$$

凸集合的割线锥表示

若 $C$ 为凸集，定义 $$\mathrm{cone}(C-\overline{x})=\{\lambda (y-\overline{x}):\lambda \ge 0,y\in C\}.$$ 此时 $$T_C(\overline{x})=\overline{\mathrm{cone}(C-\overline{x})}.$$ 证明。 序列定义中的每个缩放位移都属于右侧闭包，因此切锥包含在该闭包中。反过来，若 $$v_j={\lambda }_j(y_j-\overline{x})⟶v,$$ 选择正数 $t_j$ 递减到零，并使 $t_j{\lambda }_j\le 1$；例如逐次选择比前项一半更小、且不超过 $1/[j(1+{\lambda }_j)]$ 的数。由凸性， $$\overline{x}+t_j{v}_j=(1-t_j{\lambda }_j)\overline{x}+t_j{\lambda }_j{y}_j\in C.$$ 于是这些可行点的缩放位移恰为 $v_j$，证明了反向包含。圆盘中的竖直方向位于闭包内，这也是表示式需要闭包的具体例子。

凸性在这里很关键。若 $C$ 是平面两条坐标轴的并，原点处的切锥仍是两条坐标轴的并：每条轴上的向量都可直接实现；收敛位移序列若有非零极限，其坐标也必须至少有一个为零。方向 $(1,0)$ 与 $(0,1)$ 都可行，而它们的平均 $(1/2,1/2)$ 不在切锥中。

切锥保留集合的局部支路。对非凸集合把方向任意作凸组合，会增加原本没有的方向。

一阶最优性条件

若 $f$ 在 $\overline{x}$ 附近可微，且 $\overline{x}$ 是 $C$ 上的局部极小点，则 $$\mathrm{\nabla }f(\overline{x}{)}^{𝖳}v\ge 0(v\in T_C(\overline{x})).$$ 证明。 对实现 $v$ 的可行序列，充分大的 $j$ 有 $f(x_j)\ge f(\overline{x})$。可微展开给出 $$\begin{array}{cc}0& \le \frac{f(x_j)-f(\overline{x})}{t_j}\\ & =\mathrm{\nabla }f(\overline{x}{)}^{𝖳}\frac{x_j-\overline{x}}{t_j}+\frac{o(\Vert x_j-\overline{x}\Vert )}{t_j}.\end{array}$$ 位移商收敛因而有界，余项趋于零，取极限即得结论。

例如在单位圆盘上最小化 $f(x)=-x_1$，点 $(1,0)$ 的梯度为 $(-1,0)$，与所有切向量的内积为 $-v_1\ge 0$。这里函数与集合都凸，凸函数的一阶下界还给出全局最优性。对一般非凸目标，这只是一阶必要条件。

切锥与约束线性化

若用可微不等式 $g_i(x)\le 0$ 描述集合，那么每个活动约束对真实切向量都给出 $$\mathrm{\nabla }{g}_i(\overline{x}{)}^{𝖳}v\le 0.$$ 理由与前述可微展开相同。反向关系则需要适当的正则性。令 $C=\{x:x^2\le 0\}=\{0\}$，真实切锥只有零；在原点线性化却变成 $0\cdot v\le 0$，把所有实数方向都放进来。线性化约束丢失了这个约束的二阶信息。

切锥因而适合表达几何上的必要条件；将它改写为KKT条件中的梯度与乘数形式时，还应检查相应的约束资格条件。不同切锥或法锥的约定也要一并说明。