刘维尔定理（复分析）

刘维尔定理（Liouville's theorem，复分析）断言：在整个复平面全纯、并且模有统一上界的函数，必为常数。这里必须同时满足“整函数”和“整个平面有界”。它与哈密顿力学中关于相空间体积的同名定理是不同结论。

定理并未说有界区域内的全纯函数是常数。例如 $f(z)=z$ 在单位圆盘内有界，却当然不恒定。区别在于整函数允许围绕任意点画任意大的圆，从而把导数的估计压到零。

用一个导数估计完成证明

设 $f$ 为整函数，且存在有限常数 $M$，对所有 $z\in ℂ$ 都有 $|f(z)|\le M$。任取一点 $a$ 和半径 $R>0$，柯西导数公式及路径长度估计给出 $$\begin{array}{cc}|f^{\prime }(a)|& \le \frac{1}{2\pi }\frac{M}{R^2}(2\pi R)\\ & =\frac{M}{R}.\end{array}$$ 左端不随 $R$ 改变，右端可令 $R\to \mathrm{\infty }$ 而趋于零，所以 $f^{\prime }(a)=0$。点 $a$ 任意，导数处处为零；沿任意连接两点的线段积分导数，可知函数在整个平面为常数。

这个证明只需要函数模的全局界，不要求函数在无穷远点事先定义。若只知道实轴上有界，则圆周的大部分点没有受到控制，第一行的估计就失去了依据。

由定理证明多项式必有复根

设多项式 $p$ 的次数为 $d\ge 1$，首项系数为 $a_d\ne 0$。反设它没有复根，则 $1/p$ 是整函数。下面核对它在整个平面有界，而非只核对无穷远处。

足够大的 $|z|$ 使其余各项的模之和不超过首项模的一半，所以 $$|p(z)|\ge \frac{|a_d|}{2}|z{|}^d.$$ 因此圆外的 $|1/p(z)|$ 有界并趋于零。在剩下的闭圆盘上，连续函数 $|p|$ 没有零，紧致性保证它有严格正的最小值；倒数在圆盘内也有界。合并内外两部分，$1/p$ 是有界整函数，故为常数，这与 $p$ 次数至少一矛盾。

这证明至少存在一个复根。除去相应一次因子，再对商多项式重复，便得到次数为 $d$ 的复多项式按重数恰有 $d$ 个根。这就是代数基本定理的复分析证明。

多项式增长的定量推广

若整函数满足 $$|f(z)|\le C(1+|z{|}^m),$$ 其中 $m$ 为非负整数，则对 $n>m$，原点处的柯西估计给出 $$\frac{|f^{(n)}(0)|}{n!}\le C\frac{1+R^m}{R^n}.$$ 令 $R\to \mathrm{\infty }$，右端为零，所以所有高于 $m$ 次的泰勒系数都消失。整函数的泰勒展开覆盖整个复平面，因此 $f$ 是次数至多 $m$ 的多项式。

例如已知整函数对所有复数满足 $|f(z)|\le 4(1+|z{|}^2)$，并且 $$f(0)=1,f^{\prime }(0)=2,f^{″}(0)=6.$$ 增长条件排除三次及以上项，因而 $$f(z)=1+2z+3z^2.$$ 还应检查数据是否相容。由 $2r\le 1+r^2$，该多项式的模不超过 $1+2r+3r^2\le 2+4r^2\le 4(1+r^2)$，确实满足条件。

变式。 若改成 $|g(z)|\le 3(1+|z|)$，且 $g(0)=2$、$g^{\prime }(0)=-1$，则同理得到 $g(z)=2-z$。不能仅凭前两个导数确定一般整函数；使后续系数消失的是全局增长界。

条件缺失的反例

$e^{iz}$ 在实轴上模恒为一，却有 $e^{i(iy)}=e^{-y}$，沿负虚轴无界。它满足全纯条件，但不满足全平面有界条件。

另一方面，$1/z$ 在 $|z|>1$ 有界且全纯，却不是常数，因为定义域不是整个平面。有界的非全纯函数也很多，例如 $z\mapsto e^{-|z{|}^2}$；“全纯”不能替换成实变量意义的光滑。

参考文献

Jiří Lebl，Guide to Cultivating Complex Analysis，1.9，2026-07-11，§3.3.4（柯西估计、刘维尔定理、代数基本定理）。