剖面似然

剖面似然（profile likelihood）在每个固定的目标参数值下，重新选择使似然最大的干扰参数。得到的是联合似然曲面的最高截面轮廓；把干扰参数固定在同一个值后切一刀，通常会得到另一条曲线。

例如，独立正态观测既有未知均值 $\mu$，又有未知方差 $v>0$，而我们只关心均值。取教学数据 $(0,1,5)$，样本均值为二，围绕二的离差平方和为 $4+1+9=14$。方差是干扰参数，并不意味着它可以被任意忽略。

每个均值对应的最优方差

一般样本量为 $n$，记 $S(\mu )=\sum _i(x_i-\mu {)}^2$。去掉不随参数变化的常数，正态对数似然为 $$\ell (\mu ,v)=-\frac{n}{2}\log v-\frac{S(\mu )}{2v}+C.$$ 固定 $\mu$ 且 $S(\mu )>0$，对 $v$ 求导： $$\frac{\partial \ell }{\partial v}=\frac{S(\mu )-nv}{2v^2}.$$ 导数在 $v<S(\mu )/n$ 为正，在其上为负，且两端对数似然趋向负无穷，因此唯一全局最大值为 ${\hat{v}}_{\mu }=S(\mu )/n$。

展开 $x_i-\mu =(x_i-\bar{x})+(\bar{x}-\mu )$，交叉项因中心化离差和为零而消去，得到 $$\begin{array}{cc}S(\mu )& =S(\bar{x})+n(\mu -\bar{x}{)}^2,\\ {\hat{v}}_{\mu }& =14/3+(\mu -2{)}^2\text{（主例）}.\end{array}$$ 候选均值偏离样本中心时，模型可以增大方差来容纳偏差。这正是剖面过程中干扰参数的实际作用。

这条曲线是联合似然的脊线在参数平面上的投影，纵轴是方差估计，不是观测值。

剖面曲线和固定方差切片

代入 ${\hat{v}}_{\mu }$ 得 ${\ell }_p(\mu )=C^{\prime }-\frac{n}{2}\log S(\mu )$。主例的最大值位于 $\hat{\mu }=2$，相对剖面似然为 $$R_p(\mu )={\left\{\frac{14}{14+3(\mu -2{)}^2}\right\}}^{3/2}.$$ 例如候选 $\mu =1$ 对应方差 $17/3$，相对支持度为 $(14/17{)}^{3/2}\approx 0.7474$。

若一直把方差固定在联合最优值 $14/3$，切片的相对似然却是 $$R_s(\mu )=\exp \{-9(\mu -2{)}^2/28\}.$$ 剖面在每个均值处允许重新优化方差，故它至少和这个固定切片一样高。也可令 $u=3(\mu -2{)}^2/14\ge 0$，由 $\log (1+u)\le u$ 直接验证 $R_p\ge R_s$。

虚线切片不允许方差随候选均值变化；实线剖面保留这种变化。两条曲线均按联合峰值归一化。

定义与区间解释

将参数分成目标 $\psi$ 与干扰 $\eta$，定义 $$L_p(\psi )=\underset{\eta :(\psi ,\eta )\in \Theta }{sup}L(\psi ,\eta ).$$ 若上确界达到，常写成 $L(\psi ,{\hat{\eta }}_{\psi })$；若没有达到，就不能把不存在的最大点当成已求出的解。Reid与Fraser讨论了该定义、正则大样本近似及干扰维数增长时的障碍。

主例若只问哪些均值使相对似然不低于二分之一，解为 $$|\mu -2|\le \sqrt{\frac{14}{3}(2^{2/3}-1)}\approx \mathrm{1.656.}$$ 这是一个似然高度集合；没有额外校准，不能直接命名为95%置信区间。一般似然比的卡方近似要求模型可识别、真值在内部、信息非奇异、适当平滑与矩条件，通常还固定干扰参数维数。三点算例本身不保证这些近似在有限样本中精确。

剖面最大化干扰参数；贝叶斯边际似然则按指定先验对干扰参数积分。最大化与积分是不同运算。统计学中还存在把观测变换后取边际分布来消去参数的方法，也应按具体定义区分，不能只凭“边际”一词混用。

变式。 若另一个实验中方差已知为四，似然只有均值未知，支持曲线为 $\exp \{-3(\mu -2{)}^2/8\}$，不再需要剖面优化。如果原来未知方差的数据全都相同，则在均值取共同值、方差趋零时似然无界；前面 $S>0$ 的推导适用条件已失败。