加权平均数与综合评价

加权平均数（weighted mean）给各个数值赋予不同权重，再求和形成一个数。若 $x_{1}, \dots, x_{n}$ 使用相同单位，权重 $w_{i} \geq 0$ 且 $\sum_{i} w_{i} = 1$ ，定义 ${\bar{x}}_{w} = \sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i} .$ 权重说明各项在这个汇总指标里占多大比重；它不是从“加权”二字中自动产生的客观重要性。做等级评价时，指标的方向、量纲、权重依据以及结果对权重是否敏感，都需要一一交代。

两份方案的评分

设评估设备 A、B，按耐用、效率、维护便利三个维度给出 0—100 分。以下分数只是演算用的合成数据，假定分数越高越好，而且每个维度内相差 10 分有相同解释。

两份方案的合成评分
方案	耐用	效率	维护便利
A	90	60	80
B	75	80	85

若权重依次为 $(0.5, 0.3, 0.2)$ ，A 得 $0.5 \times 90 + 0.3 \times 60 + 0.2 \times 80 = 79$ 分；B 得 $0.5 \times 75 + 0.3 \times 80 + 0.2 \times 85 = 78.5$ 分。结果相差仅 0.5 分。把前两项权重改为 $(0.3, 0.5, 0.2)$ ，A 变为 73 分，B 变为 79.5 分，次序颠倒。图中的两次排序都是按各自公布的权重算对了；真正要商议的是选哪套权重，以及 0.5 分差是否经得起评分误差。

两组权重下设备A和B的综合分数：第一组A七十九分B七十八点五分，第二组A七十三分B七十九点五分，排序反转 — 改变权重没有改变设备数据，却改变了评价问题所强调的维度。

权重的代数作用

若所有指标都是 0 到 100 分，则非负且和为 1 的权重使综合分数也在 0 到 100 之间；这可由 $0 \leq w_{i} x_{i} \leq 100 w_{i}$ 逐项相加得到。若原始权重 $v_{i} \geq 0$ 未归一化而总和 $V = \sum_{i} v_{i} > 0$ ，则取 $w_{i} = v_{i} / V$ ，等价于 ${\bar{x}}_{w} = \sum_{i} v_{i} x_{i} / V$ 。

把第 $i$ 项分数增加 $δ$ ，其他不变，综合分数恰增加 $w_{i} δ$ 。把某权重从指标 $j$ 挪 $ε$ 到指标 $i$ ，总权重仍为 1，分数变化则为 $ε (x_{i} - x_{j})$ 。这两个式子可以在公布排名前检查敏感性，而不必为每一种微小调整重算整张表。

从原始量到可比较的分数

若直接把“使用寿命（年）”“能耗（千瓦时）”“维护费（元）”相加，结果会依赖所用单位：把年改成月便使某项数字扩大 12 倍。应先定义每项的方向与评分规则，例如能耗越低评分越高，并说明线性缩放的上下界来自哪里。改变上下界会改变分数差，也可能改变排名。

“优、良、中”是有序等级，仅知道次序，并不知道优到良的间距是否等于良到中的间距。将其编码成 3、2、1 后求加权平均，实际又加了一条“相邻等级等距”的假设；若决策不接受这一假设，应考虑逐项门槛或排序规则，而不是让平均数掩盖它。

综合分数适合回答“按这组规则哪一项较高”，不自动回答“哪一项在所有条件下最好”。若某设备必须达到最低安全等级，这一硬约束应在加权之前核对，不能靠其他高分项抵消。对于多个评价者，还须说明评分的一致性以及权重是如何协商或估计的。

参考与延伸