加速失效时间模型

加速失效时间模型（accelerated failure time model，AFT）用时间尺度的伸缩来描述协变量对正值寿命的影响。某个因素若把寿命尺度乘以一又二分之一，模型中的所有条件分位数都会按同一比例伸长；它并不表示每个个体的寿命都能被精确预测。

对数时间的回归

对 $T>0$，写 $$\log T={\beta }_0+x^{𝖳}\beta +\sigma \epsilon ,\sigma >0,$$ 误差 $\epsilon$ 的分布不随协变量 $x$ 改变。若寿命有单位，可以用 $\log (T/t_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}})$ 并把参考时间尺度纳入截距。不同误差分布产生对数正态、Weibull、对数逻辑斯蒂等AFT模型。参数化之间的尺度含义不同，例如软件 survreg 中Weibull的尺度是常见Weibull形状参数的倒数。

将基准随机寿命记为 $T_0=e^{{\beta }_0+\sigma \epsilon }$，则给定 $x$ 时 $T$ 与 $a(x)T_0$ 同分布，其中 $a(x)=e^{x^{𝖳}\beta }$。所以生存函数和分位数满足 $$S(t\mid x)=S_0(t/a(x)),Q_T(p\mid x)=a(x)Q_0(p).$$ 证明只需将事件 $a(x)T_0>t$ 改写成 $T_0>t/a(x)$。$a>1$ 表示寿命分布右移、时间伸长；有些文献把“加速因子”定义为其倒数，报告时应明确约定。

Weibull基准的伸缩算例

取基准生存函数 $S_0(t)=e^{-(t/10{)}^2}$，$t$ 以小时计。令一个二元协变量从零变成一时，$\beta =\log (3/2)$，所以时间尺度从十小时变为十五小时： $$S(t\mid 0)=e^{-(t/10{)}^2},S(t\mid 1)=e^{-(t/15{)}^2}.$$ 基准中位数解 $S_0(t)=1/2$，为 $10\sqrt{\log 2}\approx 8.3255$ 小时；另一组中位数为 $15\sqrt{\log 2}\approx 12.4883$ 小时，恰好乘以 $3/2$。

同一生存水平在时间轴上的位置整体乘以一又二分之一。比较应沿同一高度读时间，而不是把两条曲线的竖直距离当成时间比。

在十小时时，基准存活概率为 $e^{-1}\approx 0.3679$，另一组为 $e^{-4/9}\approx 0.6412$。时间比为一又二分之一，不意味着十小时时的存活概率也简单乘以这个数。

变式。 若系数改为 $\log (2/3)$，时间尺度变成 $20/3$ 小时，中位数为 $(20/3)\sqrt{\log 2}\approx 5.5504$ 小时。负系数在本文符号约定下意味着时间缩短，而不是危险率必按同一个倍数增加。

危险率与比例风险的区别

若基准密度存在，密度变换给出 $f(t\mid x)=a^{-1}{f}_0(t/a)$，故危险率为 $$h(t\mid x)=\frac{1}{a}{h}_0(t/a).$$ 一般情况下，与基准危险率 $h_0(t)$ 的比仍依赖时间，因此AFT不等于比例风险模型。在本例的Weibull形状二模型中，$h_0(t)=2t/100$，所以伸缩后危险率比为 $a^{-2}=4/9$，恰为常数；这是Weibull族的特殊结构，不能推广到所有误差分布。

右删失数据的似然

若只能记录 $U=min(T,C)$ 和 $\delta =1_{\{T\le C\}}$，其中 $C$ 为删失时刻，在给定协变量后删失独立且删失机制对寿命参数可忽略的条件下，寿命参数的似然贡献为 $$f(U\mid x{)}^{\delta }S(U\mid x{)}^{1-\delta }.$$ 已发生失效的记录贡献密度，尚未失效的记录贡献“至少活到这里”的生存概率。以基准组、十小时为例，精确失效贡献 $(2\cdot 10/100)e^{-1}\approx 0.07358$ 每小时的密度；十小时时仍未失效则贡献 $e^{-1}\approx 0.3679$。二者单位也不同，不能把删失时间当成真实失效时间直接做对数最小二乘。

模型应同时检验时间比是否近似恒定、选定误差分布是否合适，以及删失独立性是否有设计支持。存在时间变化协变量、不同组形状不一致或信息性删失时，上述简单伸缩结构需要扩展。