速度与加速度

沿直线跑步时，仅说“10 秒走了 40 米”还不够：方向和每一刻的快慢都可能变化。平均速度用整段位移除以历时；瞬时速度描述某一时刻位置的变化率；加速度描述速度的变化率。三者分别回答“终点移了多少”“此刻怎样移动”“此刻速度怎样改变”。

从一段时间缩到一个时刻

在固定参考系中，令位置为 $x(t)$。从 $t_1$ 到 $t_2$ 的平均速度是 $\overline{v}=(x(t_2)-x(t_1))/(t_2-t_1)$，单位为 $\mathrm{m}/\mathrm{s}$。令间隔逐渐缩短，若极限存在，就有 $$v(t)=\underset{\Delta t\to 0}{lim}\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}=\frac{dx}{dt},a(t)=\frac{dv}{dt}.$$ 在位置—时间图上，平均速度是割线斜率，瞬时速度是切线斜率；在速度—时间图上，切线斜率才是加速度。直线运动中的速率是 $|v|$，不会为负；速度可以因方向而为负。

一个折返的算例

某物体的位置由 $x(t)=6t-t^2$ 米给出，$t$ 以秒计，考虑 $0\le t\le 4$。求导得 $v(t)=6-2t\mathrm{m}/\mathrm{s}$、$a(t)=-2\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}$。起初 $v(0)=6$，到 $t=3\mathrm{s}$ 速度降为零，之后 $v<0$，物体折返。虽然加速度始终为负，前三秒的速率是在减小，后三秒则由零增大。

由 $x(0)=0,x(3)=9,x(4)=8$ 得四秒位移 $8\mathrm{m}$，路程 $9+1=10\mathrm{m}$，平均速度 $2\mathrm{m}/\mathrm{s}$，平均速率 $2.5\mathrm{m}/\mathrm{s}$。在折返处必须分段累计路程；不能把位移的绝对值冒充路程。

图像的另一种读法

由于 $dx/dt=v$，速度—时间图下的有向面积是位移：$\Delta x={\int }_{t_1}^{t_2}v(t)dt$。曲线落在时间轴下方的部分贡献负面积；累计路程则是 $\int |v(t)|dt$。本例在 $t=3$ 处切开，前段三角形面积 $9$，后段负三角形面积 $-1$，与直接相减位置得到的 $8$ 米吻合。

加速度是否让物体变快，要同时看速度方向。一维情况下 $v$ 与 $a$ 同号，速率增大；异号，速率减小。更一般的二维或三维运动可以把加速度分成沿速度方向与垂直速度方向的两部分：前者改变速率，后者改变方向。圆周运动与向心力正是速率不变、但法向加速度不为零的例子。图像也可用来检查这一点：速度曲线在零点穿过时间轴，导数仍是同一个负数，但“变慢”立刻转成“向反方向变快”。

图中零点把路程计算分成两段；上下有向面积相加才是位移。

参考资料

• OpenStax《University Physics》3.2，瞬时速度与速率。
• OpenStax《University Physics》3.3，平均与瞬时加速度。