单侧极限

单侧极限只考察输入从目标点的一边靠近时，函数值趋向什么。$\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$ 表示从左边趋向 $a$，$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)$ 表示从右边趋向；两侧有限极限存在且相等，才有通常的双侧极限。

一个分段函数的接缝

设 $f(x)=x+1$（$x<2$），$f(x)=5-x$（$x\ge 2$）。左边靠近2时，$x+1\to 3$；右边靠近2时，$5-x\to 3$。两侧都趋3，而且 $f(2)=3$，所以函数在2连续。

若右侧改成 $6-x$，右极限成为4，左极限仍是3，双侧极限不存在。即使人为指定 $f(2)=3$ 或4，也不能改变附近两边的趋向；函数在点上的值和单侧极限是不同信息。

用误差语言表述

右极限等于 $L$ 的意思是：对每个 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，使定义域内所有满足 $a<x<a+\delta$ 的 $x$ 都有 $|f(x)-L|<\epsilon$。左极限把范围换成 $a-\delta <x<a$。要求定义域中确有从该侧任意接近 $a$ 的点，否则命题会空转。

若两侧都趋 $L$，分别为给定误差找左、右半径，取较小者，就能覆盖 $a$ 两侧的所有近点，证明双侧极限为 $L$。反过来，双侧极限的同一个半径显然也适用于每一侧。这给出了“双侧等价于两侧同值”的严格理由。

端点附近常只有一侧可走。例如 $\sqrt{x}$ 的实数定义域是 $[0,\mathrm{\infty })$，$x\to 0^{+}$ 时极限为0；没有定义域中的负数可用于谈实函数的左极限。讨论端点连续性时，用存在的那一侧极限与函数值比较。

参考资料

• OpenStax《Calculus Volume 1》§2.2：左右极限与双侧极限。
• 同书 §2.5：单侧极限的误差定义。