单调性与极值判别

单调性与极值判别利用导数的符号，判断函数在区间上的增减以及局部峰谷。若 $f$ 在区间内可导且 $f^{\prime }(x)>0$，则它严格递增；$f^{\prime }(x)<0$ 时严格递减。证明并非读图：对任意 $x_1<x_2$，中值定理给出 $f(x_2)-f(x_1)=f^{\prime }(c)(x_2-x_1)$，其符号由导数决定。

一张符号表解决一个极值问题

令 $f(x)=x^3-3x$。导数为 $f^{\prime }(x)=3(x-1)(x+1)$。当 $x<-1$ 时两因子同为负，导数为正；在 $-1<x<1$ 时导数为负；在 $x>1$ 时为正。因此函数先升、再降、再升，$f(-1)=2$ 是局部极大值，$f(1)=-2$ 是局部极小值。判断来自两侧符号的变化，而不只是 $f^{\prime }(-1)=f^{\prime }(1)=0$。

$x^3$ 在原点也有零导数，却从左到右始终递增，原点不是局部极值。反之 $|x|$ 在原点有局部极小值但导数不存在。因此寻找候选点时，既要找内部导数为零的点，也要找函数有定义而导数不存在的点；求闭区间最值，还须把两个端点的函数值一起比较。闭区间连续性保证最大值与最小值确实能取到。

二阶导数给出的局部结论

如果 $f^{\prime }(c)=0$ 且 $f^{″}(c)>0$，导数在 $c$ 附近由负转正，可得严格局部极小；$f^{″}(c)<0$ 则给出严格局部极大。更直接地，泰勒定理在足够光滑时写成 $f(c+h)-f(c)=\frac{1}{2}{f}^{″}(c)h^2+o(h^2)$，而 $h^2$ 非负。若 $f^{″}(c)=0$，判别法没有结论：$x^4$ 在零点是极小，$-x^4$ 是极大，$x^3$ 都不是。对这些例子应回到符号变化或直接比较函数值。

参考资料

• OpenStax《Calculus Volume 1》§4.5：单调区间与一、二阶判别。
• 同书 §4.3：极值与闭区间最值。