双线性型

双线性型（bilinear form）是在两个向量变量上分别线性的标量值函数。若 $V$ 是域 $F$ 上的向量空间，映射 $b : V \times V \to F$ 对每个固定变量都关于另一个变量线性，就称为 $V$ 上的双线性型。本文的“型”使用同一个空间作两个输入；两个不同空间上的双线性映射可作类似定义。

在实平面中， $b (x, y) = x_{1} y_{1} + 2 x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}$ 是双线性的。固定 $y$ 后，它是 $x_{1}, x_{2}$ 的线性组合；固定 $x$ 也同样。表达式 $x_{1}^{2} y_{1}$ 则在第一个变量上不线性。

矩阵从基向量的配对得到

设有限维空间的基为 $e_{1}, \dots, e_{n}$ ，令 $a_{i j} = b (e_{i}, e_{j})$ 。对坐标列向量 $x, y$ ，两次使用线性性得 $b (\sum_{i} x_{i} e_{i}, \sum_{j} y_{j} e_{j}) = \sum_{i, j} x_{i} a_{i j} y_{j} = x^{𝖳} A y .$ 所以只要知道所有基向量对的取值，就知道该型对任意输入的值。主例矩阵为 $A = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ - 1 & 0 \end{matrix})$ 。取 $x = (2, 1), y = (3, - 1)$ ，先算 $A y = (1, - 3)$ ，再算 $x^{𝖳} A y = 2 - 3 = - 1$ ；直接按原定义也得 $6 - 4 - 3 = - 1$ 。

把两个坐标列都换成 $P x, P y$ ，矩阵变为 $P^{𝖳} A P$ ，这正是合同变换。若仅换其中一个输入空间的基，就不能在左右使用相同的变换矩阵。

对称部分与交替部分

称 $b$ 对称，是指 $b (x, y) = b (y, x)$ 对所有输入成立，矩阵条件为 $A = A^{𝖳}$ 。称它交替，是指 $b (x, x) = 0$ 对所有 $x$ 成立。域的特征不为二时，交替等价于 $A^{𝖳} = - A$ ：展开 $b (x + y, x + y) = 0$ 得 $b (x, y) + b (y, x) = 0$ ；反向则由 $2 b (x, x) = 0$ 得出。

在实数或复数域上，任意双线性型唯一分解为对称型与交替型之和： $\begin{matrix} b_{s} (x, y) & = \frac{b (x, y) + b (y, x)}{2}, \\ b_{a} (x, y) & = \frac{b (x, y) - b (y, x)}{2} . \end{matrix}$ 主例的对称矩阵是 $S = (\begin{matrix} 1 & 1 / 2 \\ 1 / 2 & 0 \end{matrix})$ ，斜对称矩阵是 $K = (\begin{matrix} 0 & 3 / 2 \\ - 3 / 2 & 0 \end{matrix})$ 。对应二次型仅为 $b (x, x) = x_{1}^{2} + x_{1} x_{2}$ ，完全看不到 $K$ 。

非退化性与正定性

若只有零向量满足 $b (x, y) = 0$ 对所有 $y$ 成立，称其左根为零；对有限维同空间情形，这等价于 $A$ 可逆，也等价于右根为零。原因是左根由 $A^{𝖳} x = 0$ 刻画。主例 $det A = 2 \neq 0$ ，所以非退化，尽管它不对称，也不是内积。

实内积还须对称且满足 $b (x, x) > 0$ 对非零 $x$ 成立。非退化远不足以保证这一点。复数域中，通常的内积对一个变量共轭线性，属于半双线性型； $x^{𝖳} y$ 虽双线性，却对非零 $x = (1, i)$ 给出 $x^{𝖳} x = 0$ 。

作为变式，令 $b (x, y) = x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}$ 。这是二维有向面积型，矩阵 $(\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix})$ 行列式为一，所以非退化；而 $b (x, x)$ 对所有 $x$ 都为零。这个例子把“交替”“非退化”和“正定”的差异同时展示出来。

参考文献

Sheldon Axler，Linear Algebra Done Right，第四版，§9A（双线性型、对称双线性型）；本文例子与图解独立构造。