合同变换

合同变换（congruence transformation）是对方阵进行 $A\mapsto P^{𝖳}AP$ 的变换，其中 $P$ 可逆。它自然出现于双线性型或二次型的换基：同一表达式的两个向量变量都使用同一组新坐标。复 Hermitian 型对应的是 $P^{\ast }AP$，常称星合同。

取实二次型 $q(x_1,x_2)=2x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2$。将它写为 $x^{𝖳}Ax$ 时，矩阵是 $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$。交叉项的系数二由两个对称位置各贡献一次，不能把两处都填成二。

同一几何量的两套坐标

若旧坐标与新坐标的关系为 $x=Py$，代入二次型便得 $$q(x)=(Py{)}^{𝖳}A(Py)=y^{𝖳}(P^{𝖳}AP)y.$$ 左右两边计算同一向量的同一个数，只是坐标发生变化。对一般双线性型 $b(x,z)=x^{𝖳}Az$，同时令 $x=Py,z=Pw$，也得到同一个变换规则。

主例中令 $x_1=y_1,x_2=-y_1+y_2$，所以 $P=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 1\end{array}\right)$。逐步相乘， $$AP=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right),P^{𝖳}AP=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right).$$ 因此原式变成 $y_1^2+y_2^2$。取 $y=(2,1)$，则 $x=(2,-1)$，原式等于 $8-4+1=5$，新式也等于五。换基后的单位圆在旧坐标中是一条椭圆。

斜基向量分别为1,负1和0,1；曲线上点的旧坐标与新坐标不同，二次型读数相同。

保留的量与改变的量

合同变换保留秩，因为左右乘可逆矩阵均不改变秩。对实对称矩阵，它还保留正、负及零方向的惯性指数，见西尔维斯特惯性定律。正定性可直接证明：对所有 $y\ne 0$，可逆性保证 $Py\ne 0$，故 $y^{𝖳}{P}^{𝖳}APy>0$ 与原矩阵正定等价。

它一般不保留特征值或行列式数值。由乘法规则， $$det(P^{𝖳}AP)=(detP{)}^{2}detA.$$ 例如 $A=I_2,P=\mathrm{diag}(2,1)$ 给出 $\mathrm{diag}(4,1)$：特征值改变，秩和正定性保持。

相似变换则为 $P^{-1}AP$，描述同一线性算子的输入输出坐标一起改变。其左侧出现逆矩阵，是为了把输出坐标换回来；合同左侧出现转置，是因为另一个向量变量也代入 $Py$。当 $P$ 正交时，$P^{-1}=P^{𝖳}$，两条矩阵公式一致；一般情形中它们描述的是不同对象。

变式取 $q(x,y)=x^2+4xy+y^2$。令 $x=u-2v,y=v$，展开得到 $q=u^2-3v^2$。所以该型能取正值也能取负值；任何可逆实换基都不能把它化成两个正平方之和。这里消交叉项是坐标选择，正负方向的存在则是形式本身的性质。

参考文献

Sheldon Axler，Linear Algebra Done Right，第四版，§9A（双线性型的矩阵、二次型）；本文例子与图解独立构造。