反函数

反函数把原函数的输出还原为输入。函数 $f : D \to E$ 要有定义在其值域 $f (D)$ 上的反函数，必须对不同输入给出不同输出，即满足单射性。反函数的定义域是原函数的值域，而不是任意声明的陪域。

先还原一个线性规则

若 $f (x) = 3 x - 2$ ，从输出 $y$ 求输入： $y = 3 x - 2$ ，于是 $x = (y + 2) / 3$ 。故 $f^{- 1} (y) = (y + 2) / 3$ 。双向核验是最可靠的检查： $f^{- 1} (f (x)) = x$ ，而对原函数的所有实际输出 $y$ ，也有 $f (f^{- 1} (y)) = y$ 。

平方函数 $x \mapsto x^{2}$ 在全体实数上没有反函数，因为 $2$ 与 $- 2$ 都给出4，无法从4判断原输入。若把定义域限制为 $[0, \infty)$ ，它才变成一一对应于 $[0, \infty)$ ，反函数是 $\sqrt{y}$ ；若限制为 $(- \infty, 0]$ ，反函数则是 $- \sqrt{y}$ 。选择哪一支，属于函数定义的一部分。

图像与限制

把每一对 $(x, f (x))$ 的坐标交换，就得到反函数图像上的 $(f (x), x)$ ；两条曲线关于 $y = x$ 对称。图像与水平直线至多交一点，正是单射性的图像检验。图像只能提示性质，遇到间断、缺点或受限定义域，仍需逐项核对输入集合。

记号 $f^{- 1}$ 不表示倒数 $1 / f$ 。例如 $f (x) = 3 x - 2$ 的反函数是 $(x + 2) / 3$ ，倒数却是 $1 / (3 x - 2)$ 。两者的定义域、计算目的都不同。

参考资料

OpenStax《Precalculus 2e》§1.7：一一对应、反函数及限域。
同书 §1.2：定义域、值域与图像读取。