可去奇点定理

可去奇点定理（removable singularity theorem），也称黎曼可去奇点定理，说明一个孤立奇点附近的全纯函数若有界，就能在缺口处补值而成为全纯函数。这比“沿一条线存在极限”强：它控制整个去心圆盘，也保证补值后的复可微性。

设 $f$ 在 $0<|z-a|<R$ 全纯。若存在 $r\le R$ 和有限常数 $M$，使 $0<|z-a|<r$ 时 $|f(z)|\le M$，则存在唯一全纯延拓 $F$ 到 $|z-a|<R$，并在去心圆盘内与原函数相同。唯一性来自连续性：补值只能是全方向的极限。

把缺口变成二重零点

证明可以避免先假设原函数的极限已经存在。定义 $$g(z)=\{\begin{array}{cc}(z-a{)}^{2}f(z),& z\ne a,\\ 0,& z=a.\end{array}$$ 它在非中心点全纯。在中心，由有界性得到 $$\begin{array}{cc}\left|\frac{g(a+h)-g(a)}{h}\right|& =|hf(a+h)|\\ & \le M|h|\to 0.\end{array}$$ 所以 $g$ 在中心也复可微，且 $g^{\prime }(a)=0$。现在它在整个小圆盘全纯，有收敛的泰勒展开。其常数项和一次项都为零，可以提出二次因子： $$g(z)=(z-a{)}^{2}G(z),$$ 其中 $G$ 在小圆盘全纯，若 $g$ 恒零则直接取 $G=0$。非中心处约去因子可知 $G=f$，这就给出了延拓。在较大圆盘其余部分保留原函数，两者在重叠处相同，便拼成所需 $F$。补值为 $g^{″}(a)/2$。

这里乘二次因子的作用很具体：一次因子只能直接给出连续补零，二次因子则使中心的差商也趋零，能够进入全纯函数的泰勒理论。

指数差商的补值与精度

取 $f(z)=(e^z-1)/z$、$z\ne 0$。指数展开给出 $$f(z)=1+\frac{z}{2!}+\frac{z^2}{3!}+\cdots .$$ 因此零处补值为一，补值后 $F^{\prime }(0)=1/2$。这不仅说明实数差商的极限，也说明复平面任何方向的极限都相同。

可以从同一级数给出统一误差界。令 $r=|z|$，则 $$\begin{array}{cc}|f(z)-1|& \le \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{r^k}{(k+1)!}\\ & \le \frac{r}{2}{e}^r.\end{array}$$ 第二步使用 $(k+1)!\ge 2(k-1)!$。所以充分小圆盘内有界，可去定理适用，而且误差估计并不依赖辐角。在 $z=0.1$，实际误差约 $0.051709$，上界约 $0.055259$。

变式。 将函数改成 $(\sin z)/z$。展开为 $1-z^2/3!+z^4/5!-\cdots$，补值仍为一，一阶导数为零，二阶导数为 $-1/3$。不能因为两式补值相同，就认为补值后的局部变化相同。

三种常用检查方式

若全方向有限极限已经存在，就可先得到去心邻域有界，再应用定理；只把极限值填进去而没有全纯性论证，是证明中尚缺的一步。若函数是全纯函数之商，可比较分子分母的零点阶数；若已有洛朗展开，则可检查主部是否为空。

例如 $(1-\cos z)/z^2$ 的分子有二重零点，补值为 $1/2$；而 $(1-\cos z)/z^3$ 的主部为 $1/(2z)$，仍有简单极点。补值只能修复可去缺口，不能取消真正的极点。

缺少前提时的反例

$1/z$ 在去心邻域全纯，但无界，故没有有限全纯补值。实光滑函数 $xy/(x^2+y^2)$ 在去心平面有界，却沿 $y=0$ 取零、沿 $y=x$ 取 $1/2$，连连续补值都不存在；它不满足复全纯条件。

若周围有别的极点不断聚集到中心，也不能使用定理。孤立性和有界性分别排除不同障碍，二者不能以“图像看上去没有发散”代替。

参考文献

Jiří Lebl，Guide to Cultivating Complex Analysis，1.9，2026-07-11，§5.2.1（黎曼延拓定理及乘二次因子证明）。