可控格拉姆矩阵

可控格拉姆矩阵（controllability Gramian）记录线性系统的输入在指定时间内能够影响哪些状态方向，以及达到目标所需的控制能量。它把“能够到达”与“到达有多困难”放在同一个矩阵中；能量采用输入平方积分，是数学代价，只有在具体物理模型下才等于实际能耗。

终点映射与可达方向

对 $\dot{x}=Ax+Bu$，固定 $T>0$，定义 $$W_c(T)={\int }_0^T{e}^{A(T-t)}B{B}^{𝖳}{e}^{A^{𝖳}(T-t)}\mathrm{d}t.$$ 换元 $s=T-t$ 也可写成从零到 $T$ 的 $e^{As}B{B}^{𝖳}{e}^{A^{𝖳}s}$ 积分。对 $z\in {ℝ}^n$，二次型是 $\int \Vert B^{𝖳}{e}^{A^{𝖳}s}z{\Vert }^2\mathrm{d}s\ge 0$。它为零的方向不受任何输入影响，所以 $W_c(T)\succ 0$ 等价于无幅值限制模型的可控性。

最小能量输入的推导

记所需控制改变量为 $d=x_f-e^{AT}{x}_0$，并假定 $W_c(T)$ 正定。候选输入为 $$u_{\ast }(t)=B^{𝖳}{e}^{A^{𝖳}(T-t)}{W}_c(T{)}^{-1}d.$$ 代入终点积分得到 $W_c{W}_c^{-1}d=d$，所以它确实达到目标。任意其他可行输入可写为 $u=u_{\ast }+h$，其中 $\int e^{A(T-t)}Bh(t)\mathrm{d}t=0$。于是交叉项 $${\int }_0^T{u}_{\ast }^{𝖳}h\mathrm{d}t=d^{𝖳}{W}_c^{-1}{\int }_0^T{e}^{A(T-t)}Bh\mathrm{d}t=0.$$ 展开平方得到 $\int \Vert u{\Vert }^2=\int \Vert u_{\ast }{\Vert }^2+\int \Vert h{\Vert }^2$。后一项非负，且仅在 $h=0$ 几乎处处时为零。因此候选输入在 $L^2$ 函数几乎处处等价的意义下唯一地最小化能量，且 $$E_{min}=d^{𝖳}{W}_c(T{)}^{-1}d.$$ 这一证明也解释了逆矩阵的作用：难以推动的小特征值方向会被更重地惩罚。

一秒内移动一个单位

对二重积分器 $\dot{q}=v,\dot{v}=u$，有 $e^{As}B=(s,1{)}^{𝖳}$，故 $$W_c(T)=\left(\begin{array}{cc}{T}^3/3& T^2/2\\ T^2/2& T\end{array}\right).$$ 从零状态在 $T=1$ 到达 $(1,0)$ 时，$W_c^{-1}=\left(\begin{array}{cc}12& -6\\ -6& 4\end{array}\right)$。代入公式得到 $u_{\ast }(t)=(1-t,1)(12,-6{)}^{𝖳}=6-12t$，能量为 $12$。直接积分 ${\int }_0^1(6-12t{)}^2\mathrm{d}t=36-72+48=12$，与二次型相同。

给二重积分器更长转移时间，最小平方能量按T的三次方倒数下降；这里允许输入无幅值限制。

推广到时长 $T$，同样得到 $u_{\ast }(t)=6/T^2-12t/T^3$、$E_{min}=12/T^3$。变式。 $T=2$ 时能量为 $3/2$，而不是简单减半；输入幅度和作用时间同时改变。

若 $A$ 严格稳定，无穷时域格拉姆矩阵满足 $A{W}_c+W_c{A}^{𝖳}+B{B}^{𝖳}=0$。若矩阵奇异，只有可达子空间内的目标才可实现，不能直接求普通逆；若还有限幅或状态约束，上述最小能量输入可能不再可行，须重新优化。状态或输入单位的缩放也会改变能量解释。