可控性

可控性（controllability，也称能控性）描述控制输入能否把状态从指定初态转移到所需终态。讨论这一性质时，要同时说明动力学、允许的输入和时间约定。下文首先讨论连续时间、有限维线性时不变系统，输入可取无幅值限制的平方可积函数；加上幅值限制后，到达某点所需的时间和可达范围会改变。

状态转移与可达方向

设 $\dot{x}=Ax+Bu$，其中 $x\in {ℝ}^n,u\in {ℝ}^m$。固定 $T>0$ 时，解为 $$x(T)=e^{AT}{x}_0+{\int }_0^T{e}^{A(T-t)}Bu(t)\mathrm{d}t.$$ 第一项是不施加输入时的运动，积分项是控制带来的改变量。若对任意 $x_0,x_f\in {ℝ}^n$ 都能选择输入使 $x(T)=x_f$，称系统在该时段可控。对上述线性时不变模型，若对某个正时长成立，就对每个正时长成立。

定义可控格拉姆矩阵 $$W_c(T)={\int }_0^T{e}^{As}B{B}^{𝖳}{e}^{A^{𝖳}s}\mathrm{d}s.$$ 对任意向量 $z$， $$z^{𝖳}{W}_c(T)z={\int }_0^T\Vert B^{𝖳}{e}^{A^{𝖳}s}z{\Vert }^2\mathrm{d}s.$$ 若此值为零，连续非负被积函数只能处处为零。把 $e^{A^{𝖳}s}$ 在零点求导，得到 $B^{𝖳}(A^{𝖳}{)}^{k}z=0$。反过来，若这一条件对 $k=0,\dots ,n-1$ 成立，凯莱—哈密顿定理使所有更高次幂也成立，矩阵指数的级数因此为零。故 $$W_c(T)\succ 0⟺\mathrm{rank}[B,AB,\dots ,A^{n-1}B]=n.$$ 当格拉姆矩阵可逆时，输入 $u(t)=B^{𝖳}{e}^{A^{𝖳}(T-t)}{W}_c(T{)}^{-1}(x_f-e^{AT}{x}_0)$ 代入积分便得到所需终态。这既证明了满秩判据的充分性，也说明没有满秩时必有一个控制永远到不了的方向。

二重积分器的完整转移

取 $\dot{q}=v,\dot{v}=u$，从 $(0,0)$ 出发，希望在 $T=1$ 到达 $(1,0)$。其 $B=(0,1{)}^{𝖳}$、$AB=(1,0{)}^{𝖳}$，二者张成平面。设简单输入为 $u(t)=a+bt$。积分给出 $$v(t)=at+\frac{1}{2}b{t}^2,q(t)=\frac{1}{2}a{t}^2+\frac{1}{6}b{t}^3.$$ 终端条件是 $a+b/2=0$ 与 $a/2+b/6=1$，解得 $a=6,b=-12$，所以 $$u(t)=6-12t,v(t)=6t-6t^2,q(t)=3t^2-2t^3.$$ 控制先加速再减速，终点速度恰好回零。

位置与速度来自同一个输入6−12t。曲线的端点同时满足位置和速度要求。

不可控方向与输入限制

若 $A=\mathrm{diag}(1,-1)$、$B=(0,1{)}^{𝖳}$，则 $𝒞$ 的秩只有一，第一坐标满足 $x_1(t)=e^t{x}_1(0)$，无法被输入改变。它还恰好是不稳定模态，因此连稳定化也做不到。若将该对角元改为 $-2$，系统仍不可控，却已具备可稳定性。

变式。 同样的位移与静止端点，若要求在 $T=2$ 完成，可取 $q(t)=3(t/2{)}^2-2(t/2{)}^3$，故 $u(t)=3/2-3t/2$。输入峰值从六降为一点五。若强加 $|u|\le 1$，前述两组具体输入都不符合限制；满秩只保证无幅值限制模型的可控性，不能免去受限可达集分析。