可观测格拉姆矩阵

可观测格拉姆矩阵（observability Gramian）把不同初始状态对一段时间内输出的影响，写成一个半正定矩阵。它既可判断哪些方向完全不可见，也能量化某个方向产生的输出信号强弱。下文使用连续时间有限维线性时不变模型，并假定输入已知、已从输出中扣除其贡献。

输出能量的二次型

设零输入系统 $\dot{x}=Ax,y=Cx$，$x\in {ℝ}^n,y\in {ℝ}^p$。初态 $x_0$ 产生输出 $y(t)=C{e}^{At}{x}_0$，所以 $${\int }_0^T\Vert y(t){\Vert }^2\mathrm{d}t=x_0^{𝖳}{W}_o(T)x_0,W_o(T)={\int }_0^T{e}^{A^{𝖳}t}{C}^{𝖳}C{e}^{At}\mathrm{d}t.$$ 对任意 $x_0$，左边非负，因此 $W_o(T)$ 对称半正定。如果某非零方向使二次型为零，连续非负的输出平方必须处处为零，该方向正好不可观测；反之亦然。因而对 $T>0$，$W_o(T)\succ 0$ 等价于可观测性。

位置测量中的时间信息

对 $\dot{q}=v,\dot{v}=0,y=q$，有 $C{e}^{At}=(1,t)$，逐项积分得到 $$W_o(T)={\int }_0^T\left(\begin{array}{cc}1& t\\ t& t^2\end{array}\right)\mathrm{d}t=\left(\begin{array}{cc}T& T^2/2\\ T^2/2& T^3/3\end{array}\right).$$ 其行列式 $T^4/12>0$，每个正时长都可观测。然而，当观测时间很短，纯初速度 $(0,1)$ 只产生能量 $T^3/3$，而纯初位置 $(1,0)$ 产生能量 $T$。速度信息通过位置随时间积累，短时记录中尤为微弱。

在 $T=1$、初态 $x_0=(2,3{)}^{𝖳}$ 时，输出 $y(t)=2+3t$。直接积分为 $${\int }_0^1(2+3t{)}^2\mathrm{d}t=4+6+3=13.$$ 矩阵计算也给出 $(2,3)W_o(1)(2,3{)}^{𝖳}=13$，两种表达描述同一个量。

同一传感器对两个初始方向的灵敏度随观测时长变化。曲线高度是积分能量，不是瞬时输出。

从输出恢复初态

在无噪声且 $W_o(T)$ 可逆时，乘以状态转移的转置并积分： $${\int }_0^T{e}^{A^{𝖳}t}{C}^{𝖳}y(t)\mathrm{d}t=W_o(T)x_0.$$ 左边完全由已知模型和输出决定，因此可左乘 $W_o(T{)}^{-1}$ 恢复初态。若输出含扰动 $n(t)$，误差就成为 $W_o^{-1}\int e^{A^{𝖳}t}{C}^{𝖳}n(t)\mathrm{d}t$；小特征值方向会对扰动敏感。由此可见，“正定”与“数值上容易估计”是不同层次。

若 $A$ 的全部特征值实部为负，积分可延长到无穷，得到唯一的半正定解 $$A^{𝖳}{W}_o+W_{o}A+C^{𝖳}C=0.$$ 证明是在积分中对 $e^{A^{𝖳}t}{C}^{𝖳}C{e}^{At}$ 求导并使用无穷远衰减。二重积分器的 $A$ 不稳定于严格意义，不能对它直接使用有限的无穷时域格拉姆矩阵。

变式。 只测速度时，$C=(0,1)$，得到 $W_o(T)=\mathrm{diag}(0,T)$，第一坐标始终不可见。给输出换单位或重新缩放状态会改变矩阵数值，所以比较传感器方案前应统一状态和输出尺度。