可观测性

可观测性（observability，也称能观性）描述能否从一段时间内的输出记录与已知输入，唯一确定系统的初始状态。它关注信息是否包含在观测中；测量存在噪声时能否准确恢复，则还受灵敏度和估计方法影响。可观测不等于单次测量直接给出了全部状态。

两个状态产生相同输出

考虑实矩阵模型 $$\dot{x}=Ax+Bu,y=Cx+Du,$$ 其中 $x\in {ℝ}^n,u\in {ℝ}^m,y\in {ℝ}^p$，矩阵维数与乘积对应，输入 $u$ 已知。同一输入下两条解的差 $z=x^{(1)}-x^{(2)}$ 满足 $\dot{z}=Az$，输出差为 $C{e}^{At}z(0)$。因此，只要存在非零 $z(0)$ 使这段输出差恒为零，就无法辨认这两个初态。

在没有噪声、导数存在的数学模型中，对零输入输出连续求导：$y=Cx$、$\dot{y}=CAx$，继续得到 $y^{(k)}=C{A}^{k}x$。把前 $n$ 个关系堆叠成 $$\left(\begin{array}{c}y(0)\\ \dot{y}(0)\\ ⋮\\ y^{(n-1)}(0)\end{array}\right)=𝒪x(0),𝒪=\left(\begin{array}{c}C\\ CA\\ ⋮\\ C{A}^{n-1}\end{array}\right).$$ 若 $𝒪$ 列满秩，初态唯一。若不满秩，取非零 $z\in \ker 𝒪$，凯莱—哈密顿定理使所有 $C{A}^{k}z$ 都为零，于是 $C{e}^{At}z=0$，这个差值永远不影响输出。两方向合起来证明判据 $$(C,A)\text{可观测}⟺\mathrm{rank}𝒪=n.$$

由一段位置记录确定速度

取 $\dot{q}=v,\dot{v}=0$，只测位置 $y=q$。此时 $$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),C=(1,0),𝒪=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right).$$ 输出为 $y(t)=q_0+v_{0}t$。已知 $y(0)=2,y(1)=5$，便得到 $q_0=2,v_0=3$；只看 $t=0$ 的位置则无法区分不同的速度。图中不同初速度对应不同斜率，时间记录提供了单次位置所缺的那部分信息。

三条输出曲线在初始时刻重合，随后分开。可观测性使用一段时间记录，不要求一个时刻就能辨认全部状态。

若传感器只测速度，$C=(0,1)$，则 $CA=0$，矩阵秩为一。任意两个只差初始位置的状态都产生同一速度记录，位置偏移不可观测。给速度信号增加采样次数，并不能自动找回这个完全缺失的方向。

可观测性与估计精度

连续时间的满秩结论并不保证任意采样周期下的离散模型都可观测；采样可能使不同模态混叠。实际测量也不宜直接反复数值求导，因为微小噪声会被放大。龙伯格观测器与卡尔曼滤波采用动态估计，把模型预测和观测误差结合。

可观测格拉姆矩阵给出量化版本：$z^{𝖳}{W}_o(T)z$ 等于由初态 $z$ 产生的输出能量。满秩但最小特征值很小时，某些状态方向只造成微弱输出变化，恢复它们会对噪声敏感。

变式。 将测量改为 $y=q+2v$，则 $C=(1,2)$、$CA=(0,1)$，行列式仍为一。由 $y(0)=4,y(1)=7$ 得 $v_0=3,q_0=-2$。测量不是位置本身，也仍然能够包含完整状态信息。