吸引域

吸引域（region of attraction）是使系统最终趋于某个指定吸引对象的初始状态集合。对一个渐近稳定平衡点，它回答的是“从哪些位置出发最终会回到该平衡点”。局部稳定性分析提供平衡点附近的信息，吸引域则描述这些信息可以延伸到多大的状态范围。

定义中的轨迹与时间

考虑自治常微分方程 $\dot{x}=f(x)$，状态在开集 $D\subseteq {ℝ}^n$ 中，假设 $f$ 局部利普希茨，以保证初值解局部存在且唯一。记从 $x_0$ 出发的解为 $\varphi (t,x_0)$，指定平衡点 $x_{\ast }\in D$。其吸引域定义为 $$𝒜(x_{\ast })=\{x_0\in D:\varphi (t,x_0)\text{ 对所有 }t\ge 0\text{ 存在于 }D,\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\varphi (t,x_0)=x_{\ast }\}.$$ 要求解对全部正时间存在很必要：有限时间内发散的轨迹，不能谈其无穷时间极限。讨论局部渐近稳定平衡点时，吸引域包含它的一个邻域。

一个能求出完整范围的系统

取无量纲的一维教学模型 $$\dot{x}=x(x^2-4).$$ 三个平衡点为 $-2,0,2$。若 $0<x<2$，导数为负，状态向零移动；若 $-2<x<0$，导数为正，也向零移动。外侧则分别向右、向左远离零。

空心圆表示两个边界平衡点，实心圆为原点。相线箭头由向量场的符号确定。

仅看箭头还没有证明轨迹一定存在到无穷时间并趋于零。令 $y=x^2$，对非零初值有 $$\dot{y}=2y(y-4),z=\frac{1}{y},\dot{z}=8z-2.$$ 解线性方程得到 $$\begin{array}{cc}z(t)& =\frac{1}{4}+(\frac{1}{x_0^2}-\frac{1}{4})e^{8t},\\ x(t)& =\frac{\mathrm{sgn}(x_0)}{\sqrt{\frac{1}{4}+(x_0^{-2}-\frac{1}{4})e^{8t}}}.\end{array}$$ 若 $0<|x_0|<2$，根号内始终为正且趋于无穷，因此解对全部正时间存在并趋于零；$x_0=0$ 对应恒零解。若 $|x_0|=2$，轨迹停在边界，不趋于零。若 $|x_0|>2$，分母在 $$t_{\ast }=-\frac{1}{8}\log (1-\frac{4}{x_0^2})$$ 处趋于零，解在有限时间发散。故原点的精确吸引域为 $(-2,2)$。

曲线由正文显式解计算。它们展示不同初值的收敛，完整范围仍由分母符号分析证明。

例如 $x_0=1$ 时，$x(t)=2/\sqrt{1+3e^{8t}}$。取 $t=(\log 5)/8$，分母为四，故状态恰为 $1/2$。变式取 $x_0=\sqrt{2}$，公式化为 $x(t)=2/\sqrt{1+e^{8t}}$；取 $t=(\log 3)/8$ 得 $x(t)=1$，可代回原公式复核。

从李雅普诺夫函数得到内部估计

上述模型取 $V=x^2$，有 $$\dot{V}=2x^2(x^2-4).$$ 对任意 $0<\rho <4$，闭子水平集 $\{V\le \rho \}$ 内除原点外导数严格负，且边界轨迹指向内部。它给出一个被证实在吸引域内的紧集；使 $\rho$ 逐渐趋于四，其并集为 $(-2,2)$。把 $\rho =4$ 的两个端点也算进去则错误，因为端点是另两个平衡点。

一般地，可在包含紧子水平集的邻域内找到连续可微正定函数，并用严格负的沿轨迹导数或适用的不变集定理证明收敛。紧性帮助排除在有限时间逃离模型区域，导数条件帮助排除停在非目标状态。这类证书通常只给出吸引域的内估计，未找到更大证书不表示外侧轨迹一定不收敛。

线性化与全局范围

本例在零处的线性化是 $\dot{x}=-4x$。它证明原点附近的渐近稳定，却不能把结论推广为所有实初值都收敛：原系统在外侧甚至有限时间发散。对于非线性系统，吸引域也未必是凸集或球形。

“吸引”与“保持在某集合内”是不同性质：一个正向不变集合可以包含多个平衡点或周期轨道；而吸引域的定义指定了最终趋向的对象。计算报告应同时给出对象、状态空间、已证明的内部范围与未判定区域，而不把有限时长的模拟图当作完整边界。