图围长

图围长是图中最短简单环的长度，也就是该环包含的边数。它衡量网络中最短的闭合路线有多少条边；这与连接最远两点所需的距离，即图的直径，是不同概念。

定义及例子

对有限简单无向图 $G$，若图中至少有一个环，定义 $$g(G)=min\{|E(C)|:C\text{ 是 }G\text{ 的简单环}\}.$$ 若图无环，常约定 $g(G)=\mathrm{\infty }$。简单环的顶点除首尾重合外互不重复；简单图没有长度一或二的环，因此有限围长至少为 3。

例如五顶点环 $C_5$ 只有一个简单环，其围长为 5。把对角线连接顶点 1 和 3 后，出现三角形 $1-2-3-1$，所以围长降为 3。五顶点路径没有环，围长按上述约定为无穷大。

同样有五个顶点，加入对角线后最短环从五条边变为三条边。

最短环没有弦

设 $C$ 是图的一个最短环。如果它有弦，即一条连接环上两个不相邻顶点的边，那么弦与原环上的两条路径分别组成两个环。因为两个端点在原环上不相邻，两条路径都至少有两条边；两个新环的长度都小于原环长度。这与 $C$ 最短矛盾。因此最短环没有弦。

反过来，一个没有弦的环未必是整个图的最短环：图的另一部分可能有更短的环。证明某个环给出围长时，还要排除其他位置存在更短的环。

二部图和完全图

二部图的每条边都连接不同的两部分。沿环走时顶点所在部分交替，因此返回起点至少需要偶数条边。若二部图含环，它的围长必为偶数且至少为 4。例如 $K_{2,3}$ 选取两侧各两个顶点即可得到四环，故围长为 4。

当 $n\ge 3$ 时，完全图 $K_n$ 任取三个顶点都有三条边组成三角形，故围长为 3。加入边不会使已有环消失，但可能产生更短的环；删除边则可能使最短环变长，甚至使图变成无环图。