圆内点到圆周的距离

圆心 $O$、半径 $R$ 已知，取圆内一点 $P\ne O$，记 $OP=d<R$。从 $P$ 连到圆周，最短距离为 $R-d$，最长距离为 $R+d$；其余每个可能距离恰对应直线 $OP$ 两侧的一对圆周点。这整理了《几何原本》第三卷命题 7 的比较。

沿圆周移动时的单调关系

令 $O=(0,0)$、$P=(d,0)$，圆周上一点写成 $X_{\theta }=(R\cos \theta ,R\sin \theta )$。勾股展开得 $$P{X}_{\theta }^2=R^2+d^2-2Rd\cos \theta .$$ 当 $\theta$ 从 0 走到 $\pi$，余弦严格减小，距离就严格增大；两端分别得到 $R-d$ 与 $R+d$。下半圆对应 $-\theta$，距离式不变，所以非极端距离恰有两个对称的端点。若 $P=O$，则所有圆周点都距它 $R$，上述“只有两个”不再成立。

图中 $P$ 偏离圆心；对称点 $X,Y$ 到它等距。图只能显示对称，不能代替余弦式对“不会有第三点”的证明。

内点到圆周的距离由近端到远端单调变化。

例如 $R=5,d=2$，可能距离从 3 到 7；长度 3 与 7 各只有一个对应点，长度 5 则有一对。圆外情形见圆外点到圆周的距离。

参考资料

• 《几何原本》III.7：圆内偏心点到圆周的距离。原典“靠近直径”的表述可能引起角度歧义，本站用明确的中心角参数重述。
• 推导关联：《几何原本》III.8：圆外点到圆周的距离。