圆内相交弦的中点

两条不同直线上的弦 $AB$、$CD$ 在圆内交于 $P$。若 $P$ 同时是两条弦的中点，它就必为圆心。因此两条都不经过圆心的弦，不可能互相平分。这是《几何原本》第三卷命题 4。

垂直平分线确定交点

由 $PA=PB$ 可知 $P$ 在 $AB$ 的垂直平分线上；由 $PC=PD$ 可知它也在 $CD$ 的垂直平分线上。圆心 $O$ 到每条弦的两个端点等距，同样属于这两条线。原来两弦不在同一直线上，其垂直平分线也不相同，只能有一个交点，所以 $P=O$。

水平直径与竖直直径确实在圆心互相平分，这是命题允许的情况；将其中一条平移成非直径后，交点便不能再同时平分两弦。若只知弦相交而不知平分，正确的长度关系是相交弦定理。

参考资料

• 《几何原本》III.4：不经过圆心的相交弦不能互相平分。
• 继续阅读：垂径定理。
• 推导关联：《几何原本》III.3：垂线平分弦。