圆柱、圆锥与圆台

圆柱、圆锥和圆台都有圆形平行截面。描述它们时，半径属于底面，高是底面所在平面间的垂直距离，母线则沿侧面；三者不能随意互换。把侧面展开到平面能求面积，沿高度比较截面则能求体积。

圆柱的侧面展开

半径 $r$、高 $h$ 的直圆柱，侧面剪开后是一块长 $2\pi r$、宽 $h$ 的矩形，所以侧面积 $2\pi rh$。若上下两底都封住，总表面积 $S=2\pi r^2+2\pi rh$；无盖圆筒只需一块底，面积少一个 $\pi r^2$。每个平行截面面积都为 $\pi r^2$，故体积 $V=\pi r^{2}h$。

圆锥侧面是一块扇形

直圆锥半径 $r$、高 $h$、母线长 $l=\sqrt{r^2+h^2}$。剪开侧面，展开图是半径 $l$、弧长等于底面圆周 $2\pi r$ 的扇形。扇形面积等于“半径乘弧长的一半”，于是侧面积 $\pi rl$；封闭圆锥总表面积为 $\pi r^2+\pi rl$。体积为 $\pi r^{2}h/3$，和同底同高的圆柱比为 $1:3$；沿高度的相似截面面积按线性尺度的平方缩小，与棱锥同理。

展开求侧面积要用母线 $l$；计算体积用垂直高 $h$。

圆台由两个相似圆锥相减

下、上底半径分别为 $R>r>0$，高 $h$。把顶部小圆锥补回，由相似比 $r/R$ 消去大、小圆锥高度，得到 $$V=\frac{\pi h}{3}(R^2+Rr+r^2).$$ 将 $R=r$ 代入，公式给 $\pi R^{2}h$，回到圆柱；让 $r$ 趋于零，则回到圆锥。圆台的母线长 $l=\sqrt{h^2+(R-r{)}^2}$，展开的环形扇面面积为 $\pi (R+r)l$。封闭圆台再加上下两个底面积 $\pi R^2+\pi r^2$；敞口容器的面积应按实际保留的底面计算。

例如一只理想化圆台形杯子的下底半径 2、上口半径 4、垂直高 3 厘米，容量是 $\pi \cdot 3(16+8+4)/3=28\pi$ 立方厘米。若只涂杯子的外侧及下底，所需面积是 $\pi (4+2)\sqrt{3^2+2^2}+\pi 2^2=6\pi \sqrt{13}+4\pi$ 平方厘米，不包括敞开的上口。容量与涂层面积单位不同，数值也不能直接比较。

练习：半径 3、高 4 的封闭直圆锥，母线为 5，体积 $\pi \cdot 9\cdot 4/3=12\pi$，总表面积 $9\pi +15\pi =24\pi$。若误把高 4 当作母线，会少算侧面积。

参考资料

• OpenStax，Contemporary Mathematics，§10.7：圆柱的面积、体积与单位解释。
• 继续阅读：棱柱、棱锥与棱台、球的体积与表面积。