复合函数

复合函数把一个函数的输出交给另一个函数作输入。若先用 $g$ 再用 $f$ ，写作 $(f \circ g) (x) = f (g (x))$ ；括号中的顺序不能颠倒。

从两次计算到一个规则

取 $g (x) = 2 x + 3$ 、 $f (t) = 1 / (t - 1)$ 。输入 $x = 0$ 时， $g (0) = 3$ ，接着 $f (3) = 1 / 2$ 。把两步合写， $(f \circ g) (x) = \frac{1}{2 x + 2} .$ 内层输出不能等于外层不接受的1，所以必须 $x \neq - 1$ 。如果调换次序，则 $(g \circ f) (x) = 2 / (x - 1) + 3$ ，定义域是 $x \neq 1$ ；不仅公式不同，禁用输入也不同。

一般而言， $f \circ g$ 的定义域是 ${x \in D_{g} : g (x) \in D_{f}}$ 。例如 $f (t) = \sqrt{t}$ 、 $g (x) = x - 4$ ，就要同时满足内层可算与 $x - 4 \geq 0$ ，所以 $\sqrt{x - 4}$ 只接受 $x \geq 4$ 。

复合与求导

复合不是简单地把公式并列。对 $y = (2 x + 3)^{2}$ ，先将 $x$ 变为 $t = 2 x + 3$ ，再平方。输入增加 $Δ x$ ，中间量增加 $2 Δ x$ ；平方输出的变化再由中间量决定。链式法则把这两层变化率相乘： $y^{'} = 2 (2 x + 3) \cdot 2 = 8 x + 12$ 。直接展开也得到 $4 x^{2} + 12 x + 9$ 的导数 $8 x + 12$ ，可用来核验。

三个可复合的函数满足结合律 $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$ ，因为两边对每个合法输入都按 $f$ 、 $g$ 、 $h$ 的顺序计算；但一般没有交换律。读一个长公式时，先标出最内层的输入限制，往外逐层检查，比直接套代数变形稳妥。

参考资料

OpenStax《Precalculus 2e》§1.4：复合运算与定义域。
OpenStax《Calculus Volume 1》§3.6：复合函数的变化率。