复数的四则运算

复数 $a + b i$ 可以像含字母的式子一样展开、合并，但每次遇到 $i^{2}$ 都要换成 $- 1$ 。加减法对应复平面上的平移；乘除法还会改变方向和长度。本篇先算出结果，再从平面图像解释运算。

乘法把实部与虚部交叉混合

逐项相乘可得 $(a + b i) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i .$ 例如 $(2 + i) (1 + 2 i) = 2 + 4 i + i + 2 i^{2} = 5 i$ 。两个数在复平面上原本都不在虚轴上，积却落在虚轴上；这说明复数相乘并非把两个坐标逐项相乘。特别地， $i (a + b i) = - b + a i$ ，点 $(a, b)$ 被送到 $(- b, a)$ ，恰好逆时针转四分之一周，长度不变。

复平面上向量从一加i转到二i，表示乘以一加i后长度乘根号二且方向逆时针转四十五度 — 图中的起点与终点分别对应 $1 + i$ 与 $(1 + i)^{2} = 2 i$ 。

乘法还满足模的乘法关系。由上式， $| (a + b i) (c + d i) |^{2} = (a c - b d)^{2} + (a d + b c)^{2}$ ；展开并消去 $- 2 a b c d$ 与 $+ 2 a b c d$ ，得到 $(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2})$ ，因此 $| z w | = | z | | w | .$ 非负平方根保证最后一步成立。图中 $| 1 + i | = \sqrt{2}$ ，乘两次后的 $| 2 i | = 2$ ，正是 $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$ 。

除法先使分母变成实数

非零复数 $w = c + d i$ 的共轭是 $\overline{w} = c - d i$ ，且 $w \overline{w} = c^{2} + d^{2} > 0$ 。所以 $\frac{a + b i}{c + d i} = \frac{(a + b i) (c - d i)}{c^{2} + d^{2}}, c + d i \neq 0.$ 例如 $\frac{3 + 4 i}{1 - 2 i} = \frac{(3 + 4 i) (1 + 2 i)}{1 + 4} = \frac{- 5 + 10 i}{5} = - 1 + 2 i .$ 把结果乘回分母： $(- 1 + 2 i) (1 - 2 i) = 3 + 4 i$ ，因而没有因符号变换丢掉虚部。若分母为零，共轭乘积也为零，除法仍无定义。

乘法的方向怎样确定

只用直角坐标， $i$ 的四分之一周旋转已能直接看出；一般的乘数也能写成长度与方向，见复数的三角表示。它说明两个非零复数相乘时模相乘、幅角相加。这里没有使用复指数，因此不需要先理解欧拉公式的级数定义。

练习：计算 $1 / (1 + i)$ 。乘共轭得 $(1 - i) / ((1 + i) (1 - i)) = (1 - i) / 2$ 。复乘核验： $(1 + i) (1 - i) / 2 = 1$ 。

参考资料

OpenStax，Precalculus 2e，§3.1：复数的基本运算。
继续阅读：复数与复平面、复数的三角表示、欧拉公式。