外平面图

外平面图是能够在平面上画成无边交叉、并且所有顶点都位于外部面的边界上的图。外部面是图形以外延伸到无穷远的那块区域；要求的是存在一种这样的画法，而不是任意画法都必须如此。

例子

在凸五边形的边界上标记五个顶点，连出五条边，再从同一个顶点向两个不相邻的顶点连对角线。所得图有 $n=5$ 个顶点和 $m=7$ 条边，三块内部区域都是三角形。顶点都在多边形外围，边在内部没有交叉，所以它是外平面图。

五边形与两条对角线共有七条边；所有顶点都位于外部面的边界。

树也是外平面图，但外平面图不必是树：上面的图包含三角形。每个外平面图都是平面图，反过来不成立。

边数上界

命题。 对具有 $n\ge 3$ 个顶点的有限、连通、简单外平面图，边数满足 $$m\le 2n-3.$$

证明。 固定一种外平面画法，设内部面的数目为 $f_b$。连通平面图的欧拉公式为 $n-m+(f_b+1)=2$，故 $f_b=m-n+1$。把各面的边界长度相加时，每条边按其两侧计数，共得到 $2m$；桥在同一个面的边界中会出现两次。

简单图且 $n\ge 3$ 时，每个内部面的边界长度至少为 3。外部面的边界行走至少访问每个顶点一次，长度因而至少是 $n$。于是 $$2m\ge 3f_b+n=3(m-n+1)+n.$$ 整理即得 $m\le 2n-3$。五边形例子恰好达到上界 $7$。边数达到该上界仅在这里证明了必要的计数事实；不要据此认定所有满足边数上界的图都是外平面图。

一个平面但非外平面的图

完全图 $K_4$ 可以无交叉地画在平面上：画一个三角形，再把第四个顶点放在内部并连接三个角。它有 4 个顶点和 6 条边，而外平面上界为 $2\times 4-3=5$。因此 $K_4$ 不可能存在把所有顶点放在外部面边界的画法。

画图时，边的交叉位置只有明确指定为顶点并相应改变边集时才成为顶点；单纯改变画法不能凭空消除边数上的矛盾。对不连通图也有相关上界，但上面证明直接使用了连通情形的欧拉公式。