多边形内角和

由 $n\ge 3$ 条线段首尾相接、没有自交所围成的平面图形称简单 $n$ 边形。它的内角和为 $(n-2)180^{\circ }$；正多边形的每个内角因而是 $(n-2)180^{\circ }/n$。

把一个多边形拆成三角形

对凸 $n$ 边形，从一个顶点向所有不相邻顶点画对角线，恰好分成 $n-2$ 个互不重叠的三角形。每个三角形内角和是 $180^{\circ }$，而所有三角形在原顶点附近的角会拼回多边形原来的内角，所以总和为 $(n-2)180^{\circ }$。例如八边形分成六个三角形，总内角和 $1080^{\circ }$；若为正八边形，每角 $135^{\circ }$。

凹的简单多边形不能随便从某一顶点画所有对角线，因为某些线会跑到图形外。它仍可用位于内部的不相交对角线三角剖分，三角形数仍为 $n-2$。一个验证方法是从任意三角形出发，每添一块共享一条边的三角形，外边界增加一条边，角和增加 $180^{\circ }$；剖分最终得到同一公式。自交“星形”的交点和内部区域需另行约定，不能直接当简单多边形代入。

外角的核对

对凸多边形，沿边界同方向走一圈，每到一个顶点的转角是 $180^{\circ }-{\alpha }_i$，其中 ${\alpha }_i$ 为该顶点内角。全部外角和 $$\sum _i(180^{\circ }-{\alpha }_i)=n180^{\circ }-(n-2)180^{\circ }=360^{\circ }.$$ 这反映行走方向完整转了一圈，也可独立检查内角计算。注意把每个顶点的外角取同一方向，否则正负相混会得到别的数。

参考资料

• OpenStax《Contemporary Mathematics》§10.4：多边形内角和与外角。
• 《几何原本》第一卷命题32：三角剖分所用的三角形内角和。