多项式除法与余式定理

整数除法把被除数拆成“除数乘商，加余数”。多项式除法采用同一结构：对实系数多项式 $P(x)$ 和非零的实系数多项式 $D(x)$，存在唯一的实系数多项式 $Q(x),R(x)$，使 $P=DQ+R$，其中 $R=0$ 或 $\mathrm{deg}R<\mathrm{deg}D$。

从最高次项逐步消去

将 $P(x)=x^3-2x^2-x+2$ 除以 $x-2$。最高项 $x^3$ 需由 $x^2(x-2)$ 消去；相减后余 $-x+2$。再减去 $-(x-2)$，余数为零，所以 $$x^3-2x^2-x+2=(x-2)(x^2-1).$$ 核验时把右侧展开，必须逐项回到原多项式。若被除式换成 $x^3-2x^2-x+5$，上述消去步骤相同，最后余数是3。

余式定理说明除以 $x-a$ 的余数恰好是 $P(a)$。理由是此时余数的次数小于1，必为常数 $r$；在 $P(x)=(x-a)Q(x)+r$ 中代入 $x=a$，得到 $P(a)=r$。上例在 $a=2$ 时的值由0改成3，与计算一致。

余数解决什么问题

若只要知道 $P(x)$ 除以 $x-a$ 的余数，无须做完整长除法，直接代入 $a$ 即可。例如 $P(x)=2x^4-x+1$ 除以 $x+1$，余数为 $P(-1)=2+1+1=4$。但若除式是 $x^2+1$，余数可能是一次式，代一个数不能确定它的两个系数，必须继续求商或采用其他条件。

余数为零表示整除，于是连接到因式定理；用除法找到商后，才可继续分解其他因子。多项式“能否因式分解”与“如何找到所有零点”是后续问题，余式定理只给出一个确定的检验。

参考资料

• OpenStax《Precalculus 2e》§3.5：多项式长除法与商余式。
• 同书 §3.6：余式定理与零点。