因式定理

因式定理把“函数值等于零”与“含有一次因子”联系起来：对多项式 $P (x)$ ，数 $a$ 是零点，当且仅当 $x - a$ 是 $P$ 的因子。

一次代入如何确定一个因子

对 $P (x) = x^{3} - 4 x$ ，先算 $P (0) = 0$ ，于是 $x$ 是因子，得到 $P = x (x^{2} - 4)$ 。再用平方差， $P = x (x - 2) (x + 2)$ ，所以零点是 $- 2, 0, 2$ 。反过来把三个数代回原式，也都得到零；要检验分解中的常数系数，还须把乘积展开，与原式逐项比较。仅凭零点不能确定整个多项式，因为乘上任意非零常数不会改变零点。

证明并不依赖先知道怎么分解：按多项式除法与余式定理写 $P (x) = (x - a) Q (x) + r$ ，代入 $a$ 得 $r = P (a)$ 。若 $P (a) = 0$ ，余数为零，所以 $x - a$ 整除 $P$ ；若有因子 $x - a$ ，代入后乘积为零。两个方向都成立。

用零点控制分解

如果 $a_{1}, \dots, a_{k}$ 是互不相同的零点，可逐次提出相应因子。第一步得到 $P = (x - a_{1}) Q$ ；对 $a_{2} \neq a_{1}$ ，有 $0 = P (a_{2}) = (a_{2} - a_{1}) Q (a_{2})$ ，所以 $Q (a_{2}) = 0$ ，能继续提出 $x - a_{2}$ 。因此非零的 $n$ 次多项式至多有 $n$ 个不同零点，否则会被次数更高的乘积整除。

已知一个零点并不保证剩余因子在实数范围可继续拆成一次式。例如 $x^{3} + x = x (x^{2} + 1)$ ，实零点只有0； $x^{2} + 1$ 在实数上始终为正。要讨论重复零点及曲线是否穿过横轴，可再看零点的重数。

参考资料

OpenStax《Precalculus 2e》§3.6：零点和因子的对应。
同书 §3.5：商余式分解。