夹心协方差估计

夹心协方差估计（sandwich covariance estimator）把估计方程对参数变化的敏感度与观测贡献的实际变异分开，用“逆导数—协方差—逆转置”的乘积估计参数不确定性。它常用于异方差回归、广义估计方程和复合似然，但正确的独立单位与矩条件仍不可省略。

“稳健标准误”通常改变的是误差条，而不是已经拟合出的系数。若均值模型有偏、解释变量内生或组间依赖被忽略，只换协方差公式并不能把系数变成正确目标的估计。

从方程的一阶展开得到形状

设独立同分布观测的方程为 $\sum _i\psi (X_i,\hat{\theta })=0$，真值处 $𝔼\psi (X,{\theta }_0)=0$。令 $$\begin{array}{cc}A& =-𝔼\frac{\partial \psi }{\partial {\theta }^{𝖳}}(X,{\theta }_0),\\ B& =𝔼\{\psi (X,{\theta }_0)\psi (X,{\theta }_0{)}^{𝖳}\}.\end{array}$$ 若选择了一致根、$A$ 可逆、矩有限且邻域平滑与一致展开余项得到控制，则 $$\sqrt{n}(\hat{\theta }-{\theta }_0)=A^{-1}\frac{1}{\sqrt{n}}\sum _i\psi (X_i,{\theta }_0)+o_P(1).$$ 中心极限定理给出极限协方差 $A^{-1}B{A}^{-𝖳}$。估计量本身则要除以 $n$： $$\widehat{\mathrm{Cov}}(\hat{\theta })=\frac{1}{n}{\hat{A}}^{-1}\hat{B}{\hat{A}}^{-𝖳}.$$ 此处 $\hat{A},\hat{B}$ 都按样本平均定义。如果改用求和形式 $A_{\Sigma }=n\hat{A}$、$B_{\Sigma }=n\hat{B}$，同一结果为 $A_{\Sigma }^{-1}{B}_{\Sigma }{A}_{\Sigma }^{-𝖳}$，不能再额外除一次 $n$。推导与这种归一化见Wang讲义。

三点直线拟合的完整矩阵计算

取固定解释变量 $x=(0,1,2)$、响应教学值 $y=(0,1,4)$，拟合带截距直线 $y={\beta }_0+{\beta }_{1}x+e$。设计矩阵与最小二乘解为 $$X=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\\ 1& 2\end{array}\right),\hat{\beta }=(\genfrac{}{}{0ex}{}{-1/3}{2}).$$ 预测值 $(-1/3,5/3,11/3)$，残差 $r=(1/3,-2/3,1/3)$。方程 $X^{𝖳}r=0$ 可逐项验证。允许各观测方差不同、仍要求误差独立且均值为零时，未修正的HC0估计为 $$\begin{array}{cc}{V}_{\mathrm{H}\mathrm{C}\mathrm{0}}& =(X^{𝖳}X{)}^{-1}{B}_{\Sigma }(X^{𝖳}X{)}^{-1},\\ B_{\Sigma }& =X^{𝖳}\mathrm{diag}(r_i^2)X.\end{array}$$ 这里设计矩阵是确定的；大样本一致性需要固定参数维数、归一化设计矩阵非奇异、杠杆受控与适当矩条件，不能只靠三点样本保证。

本例两块矩阵为 $$\begin{array}{cc}(X^{𝖳}X{)}^{-1}& =\left(\begin{array}{cc}5/6& -1/2\\ -1/2& 1/2\end{array}\right),\\ B_{\Sigma }& =\left(\begin{array}{cc}2/3& 2/3\\ 2/3& 8/9\end{array}\right).\end{array}$$ 左右相乘，得到 $$V_{\mathrm{H}\mathrm{C}\mathrm{0}}=\left(\begin{array}{cc}7/54& -1/18\\ -1/18& 1/18\end{array}\right).$$ 斜率的方差项为 $1/18$。还可以用斜率对各响应的权重 $(-1/2,0,1/2)$ 核对：三项方差贡献为 $1/36,0,1/36$，合计仍为 $1/18$。

贡献为残差平方乘斜率权重平方。中间点虽有最大的残差，其居中解释变量为零，故对斜率的这项直接贡献为零。截距的贡献另有不同权重。

自由度修正不等于真实方差

若反而假设同方差，并用残差平方和除以 $n-p=1$，得到 ${\hat{\sigma }}^2=2/3$，传统方差为 ${\hat{\sigma }}^2(X^{𝖳}X{)}^{-1}$，斜率项为 $1/3$。HC1把HC0乘 $n/(n-p)=3$，斜率项为 $1/6$。

三种数都由相同系数、不同协方差规则产生，不能仅因其中一个较小便说它更准确。三次观测、两个参数极少，HC0下偏、杠杆和小样本近似问题尤其突出；这只是可以手算每个矩阵的教学例子，不能据此声称稳健区间有效。

变式。 将整个估计方程乘任意非零常数 $c$，则 $A\mapsto cA$、$B\mapsto c^{2}B$，夹心乘积完全不变。这是检查程序中导数、得分及归一化是否配套的一项简单核验。

若同一受试者有多条相关记录，肉块应对组得分之和作外积，而非把每条记录当独立贡献；组数才是渐近分析的独立单位。时间序列需估计长期协方差。夹心结构表达了一阶误差传播，真正能容许哪些模型偏离，取决于均值条件、根的一致性及相关结构，而非名称本身。