对数正态过程

对数正态过程（lognormal process）是对高斯过程逐点取指数得到的正值随机过程。它保留一套由对数尺度描述的相关结构，适合表达乘法波动。每一时刻服从对数正态，只是必要条件；定义还要求任意有限多个时刻的对数联合正态。

有限维分布的定义

设 $Y_t$ 是实值高斯过程，均值函数为 $m(t)$，协方差函数为 $K(s,t)$。定义 $$X_t=e^{Y_t}.$$ 于是对任意 $t_1,\dots ,t_n$，$(\log X_{t_1},\dots ,\log X_{t_n})$ 都服从相应多元正态分布。允许协方差退化时，过程还可包含确定的时间点；若要写非退化的联合密度，则相应协方差矩阵须正定。高斯过程的有限维定义见 Rasmussen 与 Williams 的教材；单点指数变换的矩公式可与 NIST 的对数正态公式核对。

均值与协方差的推导

正态变量 $Z\sim N(a,b)$（这里 $b\ge 0$ 为方差）满足 $𝔼[e^Z]=e^{a+b/2}$。当 $b=0$ 时，$Z=a$ 几乎处处，结论直接成立；当 $b>0$ 时，可由密度配方核对：密度中的 $z-(z-a{)}^2/(2b)$ 等于 $a+b/2-(z-a-b{)}^2/(2b)$，剩下的正态密度积分为一。因此 $$𝔼[X_t]=e^{m(t)+K(t,t)/2}.$$ 对两个时刻，$Y_s+Y_t$ 的均值为 $m(s)+m(t)$，方差为 $K(s,s)+K(t,t)+2K(s,t)$。应用同一公式并减去均值乘积，得到 $$\mathrm{Cov}(X_s,X_t)=e^{m(s)+m(t)+[K(s,s)+K(t,t)]/2}(e^{K(s,t)}-1).$$ 这解释了对数相关性如何转成原尺度协方差。原尺度的相关系数一般不等于高斯过程的相关系数。

单点中位数为 $e^{m(t)}$；均值多出 $e^{K(t,t)/2}$。右尾中的较大值把均值向上拉，因此把“典型路径”画成均值，可能遮住多数观测的位置。

两个潜在正态数生成一条路径

取独立标准正态变量 $Z_0,Z_1$，并令 $$Y_t=Z_0+t{Z}_1,X_t=e^{Z_0+t{Z}_1},0\le t\le 1.$$ 此时 $m(t)=0$，$K(s,t)=1+st$。每次先抽一对 $(Z_0,Z_1)$，再让同一对数值生成整个区间的路径；不能每算一个时间点就重新独立抽取，否则过程的依赖关系已经改变。

四条教学路径分别固定一对潜在值，并非四次真实观测。每条路径中各时刻共享同一对数值。

在这个例子中，$𝔼[X_0]=e^{1/2}\approx 1.6487$，$𝔼[X_1]=e\approx 2.7183$，两个时刻的中位数都为一。它的均值上升来自对数方差增加，不是对数均值增加。又有 $$\mathrm{Cov}(X_0,X_1)=e^{3/2}(e-1)\approx \mathrm{7.7008.}$$ 对数过程的协方差 $K(0,1)=1$ 也不能直接当成这两个正值变量的协方差。

实线是原尺度均值，虚线是单点中位数。二者差距随着对数方差一加t平方而扩大。

变式。 若改成 $Y_t=Z_0$，则每条路径都是一条随机水平线，$X_s=X_t$；各点仍是对数正态。这个极端例子表明，单点分布并不能决定路径之间、时刻之间的关系。

与几何布朗运动的关系

几何布朗运动 $X_t=X_0\exp ((a-b^2/2)t+b{B}_t)$ 是一个重要特例，其中 $X_0>0$ 固定，$B_t$ 为标准布朗运动。它的对数均值为 $\log X_0+(a-b^2/2)t$，协方差为 $b^{2}min(s,t)$，所以 $𝔼[X_t]=X_0{e}^{at}$。一般对数正态过程的对数增量未必独立，过程也未必具有马尔可夫性或这一特定协方差。几何布朗运动具有独立的对数增量，并不表示原尺度的加法增量相互独立。

原始量若有物理单位，应将 $X_t/x_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}$ 取对数，明确参考尺度。零值、负值或真实的加法噪声，也不能通过“先取对数”自动纳入这个正值模型。