导数与闭区间最值

导数与闭区间最值把局部的变化率用于比较一整段区间上的函数值。对在 $[a, b]$ 连续、在内部若干段可导的函数，先找内部的驻点与不可导点，再计算这些点及两个端点的函数值；最大、最小者分别是全区间最值。连续性保证最值确实取得，求导则缩小需要比较的位置。

一个完整的函数研究

设 $f (x) = x^{3} - 3 x$ ，只在闭区间 $[- 2, 2]$ 上讨论。它是多项式，所以连续且处处可导。求导并分解： $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x - 1) (x + 1) .$ 导数在 $x = - 1, 1$ 为零。把这两个点与区间端点一起排在数轴上，左段 $(- 2, - 1)$ 两因子同负，导数为正；中段 $(- 1, 1)$ 异号，导数为负；右段 $(1, 2)$ 同正，导数为正。于是函数先升、再降、再升。图中箭头与符号表对应，极值判断由符号变换得出，不是凭曲线像一座山就断定。

函数 x 三次方减三 x 在负二到二之间的曲线，负一处局部峰值二，一处局部谷值负二，两端函数值负二和二；下方符号表为正负正 — 导数正、负、正使函数依次上升、下降、上升；闭区间最值还需比较两个端点。

计算候选值： $f (- 2) = - 2$ ， $f (- 1) = 2$ ， $f (1) = - 2$ ， $f (2) = 2$ 。因此 $[- 2, 2]$ 上最大值 2，在 $- 1$ 与 2 两处取得；最小值 −2，在 $- 2$ 与 1 两处取得。局部极大点 $- 1$ 不是最大值的唯一取得点；端点也可能与内部点并列。

零导数只是候选条件

在可导的内部点取得局部极值时，导数必须为零；反过来不成立： $x^{3}$ 在 0 的导数为零，却仍然严格递增。不可导点也不能漏掉， $| x |$ 在 0 处有最小值但无导数。因此算法是先收集候选位置，再检查符号或直接比函数值。单调性与极值判别给出中值定理支撑的严格论证和二阶导数判别。

面积最大的一道应用题

一根长 20 米的绳子围成一个长方形。若一边长为 $x$ 米，另一边为 $10 - x$ 米；两边都须为正，所以 $0 < x < 10$ 。面积函数为 $A (x) = x (10 - x)$ 平方米，导数 $A^{'} (x) = 10 - 2 x$ 。当 $x < 5$ 时面积随 $x$ 增大；当 $x > 5$ 时减小，所以 $x = 5$ 给出最大面积 25 平方米。此时是 5 米见方的正方形。也可以配方 $A (x) = 25 - (x - 5)^{2}$ 核对结论。

这个实际问题的可行域是开区间 $(0, 10)$ ，不能机械地引用“闭区间连续函数有最值”。不过导数符号已经直接证明 $A (x) \leq A (5)$ 对每个可行 $x$ 成立，因此最大值仍然取得；两端逼近零面积却不是合法长方形。建模时先写可行范围，再选用恰当的极值论证。

试算。求 $g (x) = x^{2} - 4 x$ 在 $[0, 5]$ 上的最值。 $g^{'} (x) = 2 x - 4$ 在 2 处为零，候选值为 $g (0) = 0, g (2) = - 4, g (5) = 5$ ，故最小值 −4 在 2 处，最大值 5 在右端点。只看驻点会漏掉最大值。

参考资料

OpenStax《Calculus Volume 1》§4.3：闭区间最值与候选点。
同书 §4.5：导数符号与函数形状。