平均法

平均法（method of averaging）是在含有快振荡与慢变化的微分方程中，对快变量作周期平均，从而近似慢演化的方法。平均的是固定慢状态下的变化率，并不是把解的曲线逐点取算术平均。它的主要价值在于控制较长时间上的误差：变化率虽小，每个周期都积累的作用，仍可能在许多周期后改变状态。

周期波动与慢衰减

考虑一个无量纲教学模型 $$x^{\prime }=\epsilon (-x+\sin t),x(0)=1,0<\epsilon \ll 1.$$ 状态的变化率整体只有 $\epsilon$ 量级。正弦外力每 $2\pi$ 重复一次，而衰减项要经过约 $1/\epsilon$ 的时间才产生显著变化。在一轮快周期中暂时固定 $x$，平均变化率为 $$\overline{f}(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }(-x+\sin s)\mathrm{d}s=-x.$$ 于是平均方程为 $z^{\prime }=-\epsilon z$、$z(0)=1$，解为 $z=e^{-\epsilon t}$。这里没有断言外力没有作用；舍去的是快振荡部分，保留的是在该阶近似中每个周期累积的作用。

取 ε=0.1。平均解描述慢衰减趋势，原解保留了周期为2π的小幅振荡；两者使用同一初值。

周期平均定理的对象与条件

一种常用的一阶形式是 $$x^{\prime }=\epsilon f(t,x),z^{\prime }=\epsilon \overline{f}(z),\overline{f}(x)=\frac{1}{P}{\int }_0^{P}f(s,x)\mathrm{d}s.$$ 这里 $x,z\in {ℝ}^d$，$P>0$ 是固定周期。假设 $f$ 关于 $t$ 连续、以 $P$ 为周期，关于 $x$ 连续可微；在所考察解轨迹及必要邻域构成的一个固定紧集上，$f$ 及其状态导数一致有界。给定与 $\epsilon$ 无关的 $L>0$，若两条解在 $0\le t\le L/\epsilon$ 内都留在这个区域，并且初值相同，则存在与小参数无关的常数 $C_L$，使 $$\underset{0\le t\le L/\epsilon }{sup}\Vert x(t)-z(t)\Vert \le C_L\epsilon .$$ 更一般地，初始偏差为 $O(\epsilon )$ 时仍有同阶界。轨迹留在统一控制区域的条件很关键：不能先让解到达奇点，再援引局部光滑性。周期平均定理及长时间尺度可参见 Feldman 的常微分方程讲义。

零均值项不会持续同号累积

下面给出上述误差界的主要证明。设 $g(t,x)=f(t,x)-\overline{f}(x)$，定义 $$G(t,x)={\int }_0^{t}g(s,x)\mathrm{d}s.$$ 因为每一整周期的积分为零，$G$ 对时间也是周期函数。固定区域上的 $G$ 和 $D_{x}G$ 因而一致有界。沿真实轨迹应用链式法则： $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}G(t,x(t))=g(t,x(t))+D_{x}G(t,x(t))x^{\prime }(t).$$ 积分并移项，有 $${\int }_0^{t}g(s,x(s))\mathrm{d}s=G(t,x(t))-G(0,x(0))-{\int }_0^t{D}_{x}G(s,x(s))x^{\prime }(s)\mathrm{d}s.$$ 由于 $x^{\prime }=O(\epsilon )$，右端大小不超过 $C_0+C_1\epsilon t$。当 $t\le L/\epsilon$ 时，它保持有界；不能只对 $\Vert g\Vert$ 作粗暴积分，那会丢失周期抵消。

两条解的积分方程相减，记 $e(t)=\Vert x(t)-z(t)\Vert$。若 $\overline{f}$ 的利普希茨常数为 $K$，便得到 $$e(t)\le \epsilon {C_L}^{\prime }+\epsilon K{\int }_0^{t}e(s)\mathrm{d}s.$$ 由格朗沃尔不等式，$e(t)\le \epsilon {C_L}^{\prime }{e}^{\epsilon Kt}\le \epsilon {C_L}^{\prime }{e}^{KL}$，这就是所需的一致误差界。证明说明了长时间尺度的来源：指数中是 $\epsilon t$，而非未经缩放的时间。

精确解核对与误差大小

对开篇模型使用积分因子法，得到 $$x(t)=e^{-\epsilon t}+\frac{\epsilon }{1+{\epsilon }^2}(\epsilon \sin t-\cos t+e^{-\epsilon t}).$$ 括号在零时为零，所以初值正确。将它减去平均解，且对 $t\ge 0$ 用 $|\sin t|,|\cos t|,e^{-\epsilon t}\le 1$，得到完全显式的界 $$|x(t)-z(t)|\le \frac{\epsilon (2+\epsilon )}{1+{\epsilon }^2}.$$ 它对所有非负时间成立，比一般定理在本例中的保证还强；不能因此把“所有时间有效”推广到任意非线性系统。

例如取 $\epsilon =0.1$、$t=2\pi$，平均解为 $e^{-0.2\pi }\approx 0.533488091$，原解为 $$x(2\pi )=e^{-0.2\pi }+\frac{0.1}{1.01}(e^{-0.2\pi }-1)\approx \mathrm{0.487298793.}$$ 即使观察时刻恰好走完一个周期，解也不与平均解严格重合：本轮中的状态在变，正负外力作用时的响应权重并不相同。

横轴取慢时间 τ=εt，纵轴取原解与平均解之差除以ε。参数减小时误差本身缩小，而归一化后的振荡仍为有限量级。

一个有解变式是 $x^{\prime }=\epsilon \sin t,x(0)=0$。平均方程给出恒零解，真实解却为 $\epsilon (1-\cos t)$，最大偏差 $2\epsilon$。所以平均右端为零表示本阶没有净漂移，不表示原运动静止。

振子、近共振与适用边界

对 $x^{″}+x=\epsilon F(x,x^{\prime },t)$，直接对位移的正弦项取平均往往把运动全部抹去。应先转到随未扰动振动旋转的坐标，得到缓慢变化的振幅与相位，再平均它们的方程。Mahaffy 的讲义由基本解矩阵给出了这种移动坐标的构造。

在近共振问题中，一个看似快振荡的组合可能其实缓慢变化，不能将其一并删去。平均法也不自动适用于非周期输入、在快变量上无统一平均的输入，或系数在考察区间失去光滑控制的方程。更高阶平均可以揭示一阶平均为零后仍存在的慢漂移；它需要额外变换和误差分析，不能仅把积分做得更精细来替代。