广义特征值问题

广义特征值问题寻找标量 $\lambda$ 和非零向量 $v$，使给定同阶方阵满足 $$Av=\lambda Bv.$$ 当 $B=I$ 时就是普通特征值问题。非零条件不可删去，否则零向量对每个 $\lambda$ 都成立；$B$ 的性质则决定问题能否转化为普通谱问题、特征值是否为实数以及是否可能出现无穷特征值。

取 $$A=\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ 1& 5\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right).$$ 向量 $v_{+}=(1,1{)}^{𝖳}$ 满足 $A{v}_{+}=6v_{+}$、$B{v}_{+}=3v_{+}$，故广义特征值为二；向量 $v_{-}=(1,-1{)}^{𝖳}$ 满足 $A{v}_{-}=4v_{-}$、$B{v}_{-}=v_{-}$，故广义特征值为四。普通 $A$ 的特征值六和四，与这个广义问题的二和四不是同一组数。

可逆的B与正定的B

若 $B$ 可逆，方程可改写为 $B^{-1}Av=\lambda v$。因此有限特征值是 $det(A-\lambda B)=0$ 的根。主例展开为 $$det(A-\lambda B)=(5-2\lambda {)}^2-(1-\lambda {)}^2=3(\lambda -2)(\lambda -4).$$ 两个根与直接代入一致。

即使 $A,B$ 都对称，$B^{-1}A$ 一般也未必对称。若进一步有 $B\succ 0$，可以使用 $B$ 的正定平方根，令 $y=B^{1/2}v$，得到 $$B^{-1/2}A{B}^{-1/2}y=\lambda y.$$ 新矩阵确为对称矩阵，故其特征值全为实数，并有一组正交特征向量。再令 $v=B^{-1/2}y$，就得到原问题的一组特征向量，满足 $v_i^{𝖳}B{v}_j={\delta }_{ij}$。实际数值计算也可用 $B=L{L}^{𝖳}$ 的科列斯基分解转为对称问题，避免显式形成 $B^{-1}$。

B内积中的正交性

当 $B\succ 0$ 时，$⟨u,v{⟩}_B=u^{𝖳}Bv$ 定义内积。若 $A{v}_i={\lambda }_{i}B{v}_i$、$A{v}_j={\lambda }_{j}B{v}_j$，并且 $A,B$ 对称，则 $$v_i^{𝖳}A{v}_j={\lambda }_j{v}_i^{𝖳}B{v}_j,v_i^{𝖳}A{v}_j={\lambda }_i{v}_i^{𝖳}B{v}_j.$$ 第二式来自转置 $A{v}_i={\lambda }_{i}B{v}_i$。两式相减，若 ${\lambda }_i\ne {\lambda }_j$ 就得到 $v_i^{𝖳}B{v}_j=0$。因此不同特征值的向量在 $B$ 内积下正交；不能无条件说它们在普通欧几里得内积下正交。

广义瑞利商与主例的极值

对非零 $x$ 定义 $$R(x)=\frac{x^{𝖳}Ax}{x^{𝖳}Bx}.$$ 正定性保证分母严格为正。通过前面的变量替换与对称谱分解，令 $y=\sum _i{\alpha }_i{u}_i$，便有 $$R(x)=\frac{\sum _i{\lambda }_i{\alpha }_i^2}{\sum _i{\alpha }_i^2}.$$ 它是特征值的非负加权平均，故介于最小和最大特征值之间；只取极端特征方向时达到端点。这给出完整的极值证明。

在约束x转置Bx等于一上，A二次型的最小值为二，最大值为四。

主例令 $x=\alpha (1,1)+\beta (1,-1)$，则 $x^{𝖳}Bx=6{\alpha }^2+2{\beta }^2$、$x^{𝖳}Ax=12{\alpha }^2+8{\beta }^2$。在图的椭圆上，$6{\alpha }^2+2{\beta }^2=1$；取 $\beta =0$ 得最小二，取 $\alpha =0$ 得最大四。变式只取 $x=(1,0)$，瑞利商为 $5/2$，落在二与四之间，但这个向量本身并不是广义特征向量。

奇异矩阵束的边界

若 $B$ 奇异，不能左乘普通逆。例如 $A=I_2$、$B=\mathrm{diag}(1,0)$ 时，有限特征值只有一，对应 $(1,0)$；另一个方向无法用有限的 $\lambda$ 满足方程，矩阵束的齐次表示会将它记作无穷特征值。这里的矩阵束 $A-\lambda B$ 是正则的，即行列式不恒为零。

若 $A=B=\mathrm{diag}(1,0)$，公共核向量 $(0,1)$ 却对每个 $\lambda$ 都满足方程，行列式恒为零。这种奇异矩阵束没有普通正则问题那样的离散谱描述。区分“$B$ 奇异”和“矩阵束奇异”，能避免把所有奇异情形都解释成简单增加一个无穷特征值。