广义特征向量

广义特征向量（generalized eigenvector）是对某个特征值 $λ$ ，经过有限次作用 $A - λ I$ 后变成零的非零向量。普通特征向量一次就被消掉；广义特征向量可能需要更多次。它们补足不可对角化矩阵缺失的基方向。

设 $A \in F^{n \times n}$ 。若 $v \neq 0$ 且存在整数 $k \geq 1$ 使 $(A - λ I)^{k} v = 0$ ，就称 $v$ 是相应广义特征向量；使等式成立的最小 $k$ 称阶数。若 $k = 1$ ，定义退化为普通特征向量。

一条三阶链

取 $A = (\begin{matrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix}) = 3 I + N .$ 有 $N e_{3} = e_{2}, N e_{2} = e_{1}, N e_{1} = 0$ 。所以 $e_{1}$ 是一阶特征向量， $e_{2}$ 是二阶广义特征向量， $e_{3}$ 是三阶广义特征向量。后两个都不是普通特征向量，例如 $A e_{3} = e_{2} + 3 e_{3}$ 并不与 $e_{3}$ 共线。

减去三倍单位矩阵后的算子把e3送到e2，再到e1，最终送到零 — 箭头每前进一步表示再作用一次N。一般特征向量只占链末端的非零方向。

更一般地，若 $v$ 阶数为 $r$ ，则按 $v_{1} = (A - λ I)^{r - 1} v, \dots, v_{r} = v$ 排列，得到一条广义特征链。它线性无关：若 $\sum_{j = 1}^{r} a_{j} v_{j} = 0$ ，取最后一个非零系数 $a_{k}$ ，作用 $(A - λ I)^{k - 1}$ 后只剩 $a_{k} v_{1} = 0$ ，与 $v_{1} \neq 0$ 矛盾。

广义特征空间

包含零向量后，所有相应广义特征向量组成子空间 $G_{λ} = ⋃_{k \geq 1} \ker (A - λ I)^{k} = \ker (A - λ I)^{n} .$ 最后的等号用到有限维：这些核逐层包含，一旦某步相等，以后就不再增长。具体地，若 $\ker N^{k} = \ker N^{k + 1}$ ，而 $N^{k + 2} x = 0$ ，则 $N x \in \ker N^{k + 1} = \ker N^{k}$ ，故 $x \in \ker N^{k + 1}$ ；归纳可延伸到所有后继步骤。维数最多增加到 $n$ ，因此到 $n$ 次一定稳定。

该子空间不变，因为 $A$ 与 $A - λ I$ 及其各次幂交换。若特征多项式在数域中分裂，各个 $G_{λ}$ 的直和为整个空间，这一分解定理给约旦标准形提供基础。它不表示单个普通特征空间已经足够大。

重复作用中的多项式项

在主例中 $N^{3} = 0$ ，所以 $e^{t A} = e^{3 t} (I + t N + \frac{t^{2}}{2} N^{2}) .$ 对初态 $x (0) = e_{3}$ ，解为 $x (t) = e^{3 t} (e_{3} + t e_{2} + \frac{t^{2}}{2} e_{1}) .$ 求导得到 $x^{'} = 3 x + e^{3 t} (e_{2} + t e_{1})$ ，而作用 $N$ 于原表达式也给出后面这项，故逐项核对了方程 $x^{'} = A x$ 。普通特征向量只产生纯指数；链结构则引入乘在指数前的时间多项式。

变式取 $v = e_{1} + 2 e_{3}$ 。有 $N v = 2 e_{2}, N^{2} v = 2 e_{1}, N^{3} v = 0$ ，所以其阶数为三。若只剩 $e_{1} + 2 e_{2}$ ，阶数便降为二。广义特征向量不是固定的一串标准基，而是一整个由核方程描述的集合。

这里的“广义”也不同于广义特征值问题 $A v = λ B v$ ；后者同时含两个矩阵，并不以反复作用 $A - λ I$ 作为定义。

参考文献

Sheldon Axler，Linear Algebra Done Right，第四版，§8A—8C（广义特征向量与广义特征空间）；本文例子与图解独立构造。