约旦标准形

约旦标准形（Jordan canonical form）把特征多项式在所用数域上完全分裂的线性算子，表示成若干约旦块的直和。每块的对角线是同一个特征值，紧邻对角线上方是一，其余位置为零。它同时记录特征值，以及仅用特征向量还不足以分解的耦合。

例如 $A = (\begin{matrix} 4 & 1 \\ 0 & 4 \end{matrix})$ 已是一个二阶约旦块。 $e_{1}$ 是特征向量， $e_{2}$ 却满足 $(A - 4 I) e_{2} = e_{1}$ 。第二个方向没有消失，而是需要用“先送到特征方向，再送到零”的链来描述。

块、链与相似变换

记 $J_{r} (λ) = λ I_{r} + N_{r}$ ，其中 $(N_{r})_{i, i + 1} = 1$ 。约旦定理断言：对 $A \in F^{n \times n}$ ，若特征多项式在 $F$ 上分裂，则存在可逆 $P$ 使 $P^{- 1} A P = diag (J_{r_{1}} (λ_{1}), \dots, J_{r_{s}} (λ_{s})) .$ 块的排列可以改变，但每个特征值对应的块大小多重集合唯一。本文引用这一存在定理；其一般构造依靠广义特征空间分解和幂零算子的链基。

一条长度 $r$ 的链要求 $v_{1} \neq 0$ ，并满足 $(A - λ I) v_{1} = 0$ 、 $(A - λ I) v_{j} = v_{j - 1}$ （ $j \geq 2$ ）。按 $v_{1}, \dots, v_{r}$ 排列时，像的坐标正好给出上方为一的约旦块。链向量线性无关：若最后一个非零系数出现在 $v_{k}$ ，对等式施加 $(A - λ I)^{k - 1}$ ，只剩该系数乘 $v_{1}$ ，矛盾。

核维数识别块大小

固定特征值 $λ$ ，令 $d_{k} = \dim \ker (A - λ I)^{k}$ ， $d_{0} = 0$ 。一个大小为 $r$ 的 $λ$ 块给核贡献 $min (k, r)$ 个维数；其他特征值的块贡献零。因此 $d_{k} - d_{k - 1} = 大小至少为 k 的 λ 块数 .$ 证明就在单块中： $N_{r}$ 把链每次向前移动一步，施加 $k$ 次恰好杀掉前 $min (k, r)$ 个基向量。对所有块相加即得公式。进一步，大小恰为 $k$ 的块数为 $2 d_{k} - d_{k - 1} - d_{k + 1}$ 。所以核维数不是只给总块数，也能恢复每一种块大小。

大小为三和一的两个约旦块使核维数依次增长到二三四 — 每次幂运算在每条未耗尽的链中增加一个核方向；增量二、一、一对应两块、其中一块至少长二及三。

若某四阶矩阵只有特征值二，且 $d_{1} = 2, d_{2} = 3, d_{3} = 4$ ，增量为二、一、一，故块大小是三和一，而非二和二。其特征多项式是 $(t - 2)^{4}$ ，最小多项式是 $(t - 2)^{3}$ 。前者记录总尺寸，后者记录最长链。

从非标准矩阵找到链

取 $B = (\begin{matrix} 5 & 2 \\ 0 & 5 \end{matrix})$ 。选择 $v_{1} = 2 e_{1}, v_{2} = e_{2}$ ，有 $(B - 5 I) v_{2} = v_{1}$ 。令 $P = diag (2, 1)$ ，直接相乘得 $P^{- 1} B P = (\begin{matrix} 5 & 1 \\ 0 & 5 \end{matrix}) .$ 若改成 $5 I_{2}$ ，则核维数第一步已经为二，得到两个一阶块，无法通过换基制造成一个二阶块。

约旦形式主要用于精确结构推理。浮点数据中一个极小扰动就能改变块结构： $(\begin{matrix} 5 & 1 \\ ε & 5 \end{matrix})$ 在实数 $ε > 0$ 时有不同特征值 $5 \pm \sqrt{ε}$ ，而 $ε = 0$ 时只有一条特征方向。数值计算常使用稳定性更合适的舒尔分解，不能把近似相等的特征值机械合并成精确约旦块。

参考文献

Sheldon Axler，Linear Algebra Done Right，第四版，§8A—8C（广义特征向量、约旦形）；本文例子与图解独立构造。