延拓法

延拓法（continuation method）从一个已知解出发，逐渐改变参数并追踪方程的解分支。它常用于非线性方程、平衡态和分岔计算。预测步根据已有分支方向提出新初值，校正步再把该初值投回方程的解集；这比每个参数点都独立盲选初值更能利用相邻解之间的关系。

参数改变时追踪同一条解支

考虑 $F(x,\lambda )=x^2-\lambda =0$。已知 $(x,\lambda )=(1,1)$，若用 $\lambda$ 作参数，正支为 $x=\sqrt{\lambda }$，导数满足 $$F_x\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\lambda }+F_{\lambda }=0,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\lambda }=\frac{1}{2x}.$$ 在远离零的地方，这个导数可预测下一个初值，再用 Newton 法解新的 $x^2-\lambda =0$。但到 $x=0$ 时导数发散；真实解曲线 $\lambda =x^2$ 仍光滑，只是不能继续把 $\lambda$ 当成局部单值的自变量。这个转折称为折叠点。

横轴为x，纵轴为参数λ。参数λ在折点先减后增；伪弧长法追踪的是曲线方向，允许这种参数回转。

切向预测与伪弧长约束

对 $F(x,\lambda )=0$，其中 $x\in {ℝ}^n$、$F\in {ℝ}^n$，解曲线切向量 $t=(t_x,t_{\lambda })$ 满足 $$F_x{t}_x+F_{\lambda }{t}_{\lambda }=0,\Vert t{\Vert }_2=1.$$ 切向符号通过与上一轮方向内积为正来保持。给定步长 $\Delta s$，先作预测 $z_p=z_k+\Delta s{t}_k$，其中 $z=(x,\lambda )$；再解增广方程 $$F(x,\lambda )=0,t_k^T(z-z_p)=0.$$ 第二式要求校正点位于穿过预测点、垂直于旧切向的超平面。这叫伪弧长约束，实际新旧点的曲线弧长未必恰等于 $\Delta s$，因此不应把它称为精确弧长积分。AUTO 的官方手册使用伪弧长延拓，并以 DS 控制初始步长、以 DSMIN 和 DSMAX 限制自适应步长范围；一次校正失败时，程序可减半步长后重试。

跨过折点的非奇异性

本例切向满足 $t_{\lambda }=2x{t}_x$。取向左追踪的单位切向 $t=(-1,-2x)/\sqrt{1+4x^2}$。校正 Newton 系统的 Jacobian 为 $$J_{aug}=\left(\begin{array}{cc}2x& -1\\ t_x& t_{\lambda }\end{array}\right).$$ 若在当前曲线上评价并使用相应切向，其行列式为 $$2x{t}_{\lambda }+t_x=(1+4x^2)t_x=-\sqrt{1+4x^2}\ne 0.$$ 特别在折点 $x=0$，原来的 $F_x=0$，增广矩阵却为 $\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 0\end{array}\right)$，仍可逆。隐函数定理于是保证附近的增广校正局部有唯一解。这个证明解释伪弧长法能跨越简单折叠；若整个 $[F_x{F}_{\lambda }]$ 失去行满秩，解集可能出现真正分岔，增加这一条约束未必足够。

两个可手算的预测—校正步骤

从 $(1,1)$ 出发，取 $t=(-1,-2)/\sqrt{5}$、$\Delta s=\sqrt{5}/4$，预测点为 $(3/4,1/2)$。校正超平面为 $$x+2\lambda =7/4.$$ 与 $\lambda =x^2$ 联立得到 $2x^2+x-7/4=0$。选择靠近预测点的根，得到 $$x=\frac{-1+\sqrt{15}}{4}\approx 0.718245837,\lambda =1-\frac{\sqrt{15}}{8}\approx \mathrm{0.515877082.}$$ 方程另有远处负根，所以“局部唯一”不能误读成这个超平面在全局只与曲线交一次。步长和校正初值决定继续哪一段解支。

有解变式直接从折点 $(0,0)$ 出发，切向取 $(-1,0)$，步长为 $0.2$。预测点为 $(-0.2,0)$，约束固定 $x=-0.2$，代入原方程得 $\lambda =0.04$。参数自动回升，算法已进入负支；如果坚持让 $\lambda$ 一直下降，就无法描述这条实际曲线。

一个可运行的增广 Newton 校正器

代码针对本例，从给定曲线点计算向左切向、作预测并校正。它返回新点，不修改输入；迭代残差同时检查原方程和伪弧长约束。每轮只解二阶系统，为常数成本；一般大系统的主要成本在增广线性求解和 Jacobian 构造。

Python 3

import math


def fold_continuation_step(x0, lam0, ds, tol=1e-12, maxiter=30):
    x0, lam0, ds, tol = map(float, (x0, lam0, ds, tol))
    if not all(math.isfinite(v) for v in (x0, lam0, ds, tol)) or ds <= 0 or tol <= 0:
        raise ValueError("finite data and positive step/tolerance required")
    if abs(x0*x0-lam0) > tol*max(1.0, abs(lam0)):
        raise ValueError("starting point must satisfy the branch equation")
    if not isinstance(maxiter, int) or maxiter <= 0:
        raise ValueError("positive integer maxiter required")
    length = math.hypot(1, 2*x0); tx, tl = -1/length, -2*x0/length
    xp, lp = x0+ds*tx, lam0+ds*tl; x, lam = xp, lp
    for _ in range(maxiter):
        g1, g2 = x*x-lam, tx*(x-xp)+tl*(lam-lp)
        if not all(math.isfinite(v) for v in (x, lam, g1, g2)):
            raise ArithmeticError("nonfinite corrector")
        if math.hypot(g1, g2) <= tol:
            return x, lam
        determinant = 2*x*tl+tx
        if determinant == 0 or not math.isfinite(determinant):
            raise ArithmeticError("singular augmented corrector")
        dx = (-tl*g1-g2)/determinant
        dl = (tx*g1-2*x*g2)/determinant
        x += dx; lam += dl
    raise RuntimeError("corrector failed to converge; reduce continuation step")


print(fold_continuation_step(1, 1, math.sqrt(5)/4))
# (0.7182458366..., 0.5158770817...)
print(fold_continuation_step(0, 0, 0.2))  # (-0.2, 0.04)

自适应步长可根据校正次数、曲率变化和误差估计调整。延拓并不保证找到全部解支，遇到分岔还需检测、分支切换和稳定性分析。将一个容易问题连续变为目标问题的同伦法属于相关思路，但参数构造与是否追踪所有分支仍须具体说明。