弦、圆心角与弧的对应

在半径相等的两个圆里，弧、对弧的圆心角和弦互相制约。《几何原本》第三卷命题 26—29 分别给出角与弧、弦与弧的两个方向；合在一起可用一组公式讲清。

同角对应同弧：命题 26、27

半径为 $R$，取一段弧的有向扫过量 $0<\theta <2\pi$（用弧度），则弧长 $$s=R\theta .$$ 半径相等时，两个圆心角所扫的弧量相等，当且仅当弧长相等。圆周角 $\phi$ 若对着这段不含顶点的弧，则 $\phi =\theta /2$；因此同弧的圆周角也相等，反向由相等的圆周角也可恢复相等的对应弧。这解释了命题 26、27，但须交代取的是哪一段弧。

同弦对应同类弧：命题 28、29

弦长记为 $\ell$。由两条半径组成的等腰三角形， $$\ell =2R\sin \frac{\theta }{2}.$$ 对小弧 $0<\theta \le \pi$，正弦在 $[0,\pi /2]$ 单调增，所以等弦当且仅当小弧的角量相等；大弧分别是各自整圆减去小弧，也随之相等。这给出命题 28、29。若只给弦长而不说小弧或大弧，$\theta$ 与 $2\pi -\theta$ 都会产生同一条弦，不能把两段不同弧混为一段。

例如 $R=6$、小圆心角 $60^{\circ }$ 时，弦长为 $2\cdot 6\sin 30^{\circ }=6$，小弧长为 $2\pi$，大弧长为 $10\pi$。另一个半径 6 的圆中长 6 的弦也截下同样大小的小弧和大弧；半径若变了，上述对应不能只凭弦长判断。

参考资料

• 《几何原本》III.26：等角对等弧、III.27：等弧对等角。
• 《几何原本》III.28：等弦截等弧、III.29：等弧对应等弦。
• 继续阅读：圆与弧度、圆周角定理、圆弧的平分。