扇形面积与弧长

扇形是圆内由两条半径与它们之间的一段圆弧围出的区域。设半径 $r>0$、圆心角 $\theta$ 以弧度计，且 $0\le \theta \le 2\pi$，对应弧长与扇形面积分别是 $$s=r\theta ,A=\frac{1}{2}{r}^2\theta .$$

从整圆按角度分取

整圆对应角 $2\pi$，弧长是 $2\pi r$，面积是 $\pi r^2$。角为 $\theta$ 的扇形占整圆 $\theta /(2\pi )$，于是弧长 $(\theta /2\pi )2\pi r=r\theta$，面积 $(\theta /2\pi )\pi r^2=r^2\theta /2$。两式还给出 $A=rs/2$：把弧边看成很多小直线边，扇形近似由共高 $r$ 的小三角形组成。

蓝色扇区的弧是 s，径向两条边各为 r；面积由角度占整圆的比例确定。

若半径6厘米、圆心角 $\pi /3$，弧长 $6\cdot \pi /3=2\pi$ 厘米，面积 $\frac{1}{2}\cdot 36\cdot \pi /3=6\pi$ 平方厘米。用角度制 $60^{\circ }$ 直接代成数字60会错得很大；先转换为 $\pi /3$ 弧度。

弧与弦不能混同

同一例子的弦长由等腰三角形得到 $2r\sin (\theta /2)=12\sin (\pi /6)=6$ 厘米，小于弧长 $2\pi \approx 6.28$ 厘米。弧沿圆周走，弦沿直线走；计算围栏、曲线路径或扇形周长时，两条半径加的应是弧长，故周长 $2r+s$。

若 $\theta >2\pi$ 表示转过多于一整圈，$r\theta$ 可作累计行程，但重叠区域的普通几何面积不再是 $r^2\theta /2$。这一区别在圆周运动与旋转体计算中很有用。

参考资料

• OpenStax《Contemporary Mathematics》§10.4：圆周和角度。
• 同书 §10.6：圆面积与扇形比例的基础。