控制李雅普诺夫函数

控制李雅普诺夫函数（control Lyapunov function，CLF）把稳定化问题改写为：在每个非目标状态，是否存在一个允许输入，能使某个正定函数严格下降。普通李雅普诺夫函数用来分析已经确定的闭环；CLF还把输入作为待选择的变量。

从函数导数选择输入

考虑控制仿射系统 $\dot{x}=f(x)+g(x)u$、$u\in U$，目标为原点。一个常用光滑定义要求 $V$ 连续可微、$V(0)=0$、$V(x)>0$ 对 $x\ne 0$ 成立，并有 $$\underset{u\in U}{inf}\{L_{f}V(x)+L_{g}V(x)u\}<0(x\ne 0).$$ 其中 $L_{f}V=\mathrm{\nabla }{V}^{𝖳}f$、$L_{g}V=\mathrm{\nabla }{V}^{𝖳}g$。全局设计还常要求 $V$ 径向无界，使其有界子水平集能约束整个状态。定义在受限区域时，结论范围也应限制在该区域。

仅仅逐点存在下降输入，还没有交代怎样选成一条足够规则的反馈。若选出的反馈使原点成为平衡点、局部Lipschitz且轨迹存在，并使 $\dot{V}\le -W(x)$，其中 $W$ 正定，那么可用相应李雅普诺夫定理证明收敛；连续反馈在原点的性质还可能需要小控制条件。不能把这些选择和解的条件隐藏在一个“存在”符号后面。

标量稳定化与限幅区域

取 $\dot{x}=x+u$，$V=x^2/2$。其导数为 $x^2+xu$。若 $U=ℝ$，选 $u=-2x$，便有 $\dot{V}=-x^2=-2V$，积分得到 $V(t)=V(0)e^{-2t}$、$x(t)=x_0{e}^{-t}$，全局指数收敛。

若控制限幅改成 $U=[-2,2]$，最小可能导数为 $$\underset{|u|\le 2}{inf}(x^2+xu)=x^2-2|x|.$$ 它只有在 $0<|x|<2$ 时严格为负；边界为零，外侧为正。图中的负值区间就是该函数能确认下降的区域。实际上 $x>2$ 时任何输入都有 $\dot{x}\ge x-2>0$，所以这不是保守计算造成的假障碍。

输入存在幅值限制时，下降条件只能在相应区域满足；不能把无约束的全局稳定结论原样保留。

二次规划中的线性输入约束

对积分器 $\dot{x}=u$、$V=x^2/2$，要求 $\dot{V}\le -cV,c>0$，等价于 $xu\le -c{x}^2/2$。固定当前 $x$ 后，这是输入 $u$ 的线性不等式。若希望最少改变名义输入 $u_{\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{m}}=0$，求解 $min{u}^2/2$，就得到 $u=-cx/2$；$x=0$ 时约束自动成立，最优输入为零。

变式。 取 $c=2$，则 $u=-x$、$V(t)=V(0)e^{-2t}$；取 $c=4$，则 $u=-2x$，所需输入幅值加倍，状态衰减更快。加入限幅后，并非所有初态都能满足任意大的下降率。

CLF约束关注向目标收敛；控制障碍函数关注留在安全集合。目标若在安全集合外，两项要求本身就可能冲突。给性能约束加入松弛变量能够恢复某些优化问题的可行性，但放松后就不再自动拥有原来的严格下降保证。