控制障碍函数

控制障碍函数（control barrier function，CBF）把保持安全集合的要求，写成每个状态下控制输入应满足的微分不等式。它不是静态地惩罚“靠近危险”的分数，而是约束系统接下来可以朝哪些方向运动，使安全集合前向不变。

半直线上的安全边界

考虑 $\dot{x}=u$，安全集合 $C=\{x\ge 0\}$，取定义函数 $h(x)=x$。如果沿整个连续时间轨迹都满足 $$\dot{h}=u\ge -\kappa h,\kappa >0,$$ 则 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(e^{\kappa t}h(x(t)))\ge 0$，积分得到 $h(x(t))\ge e^{-\kappa t}h(x(0))$。只要初态在 $C$ 内，之后就始终非负。这是本例的安全证明，不能用离散动画中几次没越界代替。

与强行要求 $\dot{h}\ge 0$ 相比，该条件允许在内部朝边界靠近，只限制靠近速度；在边界 $h=0$ 处，才要求导数不为负。

最少改动名义输入

设名义控制想让系统以 $u_{\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{m}}=-1$ 向左移动，取 $\kappa =1$。每个时刻求 $$\underset{u}{min}\frac{1}{2}(u+1{)}^2\text{满足 }u\ge -x.$$ 若 $x\ge 1$，原输入已经可行，最优仍为负一；若 $0\le x<1$，离负一最近的可行值是 $-x$。因此安全过滤后的输入为 $u(x)=max(-1,-x)$。

虚线是名义输入；实线是满足障碍约束、同时改动最小的输入。越靠近零，允许向左的速度越小。

从 $x_0=2$ 出发，前一秒满足 $x(t)=2-t$；到 $x=1$ 后切换成 $\dot{x}=-x$，因此 $$x(t)=\{\begin{array}{cc}2-t,& 0\le t\le 1,\\ e^{-(t-1)},& t\ge 1.\end{array}$$ 它逐渐靠近安全边界，从不穿过。若初值为二分之一，则从一开始就按 $x(t)=e^{-t}/2$ 演化。

两条轨迹都留在非负半直线。此处轨迹使用连续反馈的解析解；只在采样时刻检查约束并不自动得到同样保证。

一般控制仿射形式与可行性

对 $\dot{x}=f(x)+g(x)u$，设 $f,g$ 局部Lipschitz，令 $C=\{h(x)\ge 0\}$，$h$ 连续可微。常用零化CBF约束为 $$L_{f}h(x)+L_{g}h(x)u\ge -\alpha (h(x)),$$ 其中 $\alpha$ 是在相关区间上局部Lipschitz的扩展类K函数，即严格递增且 $\alpha (0)=0$；本篇证明使用 $\alpha (r)=\kappa r$。配合边界处梯度非零、局部Lipschitz反馈及闭环向量场局部Lipschitz等条件，解局部存在且唯一，比较原理在最大解区间内给出前向不变性；若要覆盖所有未来时刻，还需前向完备性。固定状态时，控制仿射结构使该约束对 $u$ 线性，可与最小改动的二次目标组合。

存在输入限制时，还须能找到允许的 $u$ 满足约束。变式。 若实际动力学改成 $\dot{x}=-2+u$、$|u|\le 1$，在边界零处最大导数也只有负一，安全约束不可行；优化器无法制造不存在的控制能力。相对阶高于一时，输入不出现在 $\dot{h}$ 中，还需要更高阶构造，不能直接照搬本篇一阶公式。

标量过滤器代码

代码只实现半直线积分器的闭式投影，输入当前安全状态、名义输入与正系数，不修改输入；时间和空间均为常数。它不是一般带扰动、采样或执行器限幅系统的安全证书。

Python 3

import math

def cbf_halfline_control(state, nominal=-1.0, kappa=1.0):
    if not all(math.isfinite(v) for v in (state, nominal, kappa)):
        raise ValueError("finite inputs required")
    if state < 0 or kappa <= 0:
        raise ValueError("initial state must be safe and kappa positive")
    return max(nominal, -kappa * state)

print([cbf_halfline_control(x) for x in (2, 1, 0.5, 0)])

结果为 $(-1,-1,-1/2,0)$。保持安全不等于到达某个目标；例如名义输入为零时，最优输入可一直为零，状态停在安全区域内部。控制李雅普诺夫函数提供目标下降要求，二者能否兼容仍要检查。