收敛阶

收敛阶描述迭代逼近精确答案时，误差下降得多快。设迭代 $x_{k} \to x_{*}$ ，误差 $e_{k} = | x_{k} - x_{*} |$ 。若存在 $p \geq 1$ 、有限正数 $C$ 使 $e_{k + 1} / e_{k}^{p} \to C$ ，称收敛阶为 $p$ ； $p = 1$ 且 $0 < C < 1$ 是线性收敛， $p = 2$ 是二次收敛。讨论这一极限时排除已在有限步精确命中的情形；只见前两步变快不足以确定渐近阶数。

二分法与牛顿法的不同速度

二分法每步把保证包含根的区间长度减半，所以在相应误差上有明确的线性上界。不应声称每一次中点的真实误差都恰好乘 $1 / 2$ ：根可能偶然非常靠近某次中点。求 $\sqrt{2}$ 的牛顿迭代则是 $x_{k + 1} = (x_{k} + 2 / x_{k}) / 2$ 。令 $r = \sqrt{2}$ ，直接通分： $x_{k + 1} - r = \frac{x_{k}^{2} + 2 - 2 r x_{k}}{2 x_{k}} = \frac{(x_{k} - r)^{2}}{2 x_{k}} .$ 当 $x_{k} \to r > 0$ ， $e_{k + 1} / e_{k}^{2} \to 1 / (2 r)$ ，所以在该根附近是二次收敛。以 $x_{0} = 1.5$ 起步， $x_{1} = 17 / 12 \approx 1.416667$ ， $x_{2} = 577 / 408 \approx 1.414216$ ；误差约由 $8.58 \times 1 0^{- 2}$ 降到 $2.45 \times 1 0^{- 3}$ ，再到 $2.12 \times 1 0^{- 6}$ ，符合平方缩小的趋势。

阶数不能单独决定效率

二次收敛通常需要足够靠近根、导数非零且每步有计算导数的成本；远离根时牛顿迭代可能跳走，二分法只要异号端点且函数连续便保留包根保证。停止时也不能把 $| x_{k + 1} - x_{k} |$ 小自动当作真误差小，宜结合残差、导数下界或区间证书。

另一个同名用法是离散格式的阶：步长 $h$ 下误差为 $O (h^{p})$ 。它比较不同网格的误差，而上述迭代阶比较相邻迭代误差。两种 $p$ 的自变量不同，报告“二阶方法”时须说明是网格精度还是迭代速度。

参考资料与相关词条

MIT 18.335J：牛顿迭代与收敛率。
相关：牛顿法、二分法、数值误差、数值稳定性。