数学概念与定义

数学定义给一个术语规定精确的使用条件。读到“偶数”“正方形”或“函数”时，先问对象来自哪个范围、满足哪些条件；此后的定理与证明才有共同的起点。定义是约定术语，不是靠列举许多例子后得出的经验定律。

“偶数”到底包括谁

在整数集合 $ℤ$ 中，可以定义：整数 $n$ 是偶数，当且仅当存在整数 $k$ 使 $n = 2 k$ 。由此 0 是偶数， $- 6 = 2 (- 3)$ 也是偶数；若把研究范围改成正整数，“ $- 6$ 是偶数”便不再是在该范围中讨论的对象。术语的外延依赖事先指定的论域。

“能被 4 整除”可以保证“是偶数”： $n = 4 k = 2 (2 k)$ 。但反向不成立， $6 = 2 (3)$ 不能写成整数的 4 倍。因此“能被 4 整除”只是偶数的充分条件，不能替换原定义。要提出一个等价定义，必须证明两个方向。例如“整数 $n$ 为偶数”与“ $n^{2}$ 为偶数”等价：正向由 $n = 2 k$ 得 $n^{2} = 2 (2 k^{2})$ ；反向可设 $n$ 为奇数，写成 $n = 2 k + 1$ ，则 $n^{2} = 2 (2 k^{2} + 2 k) + 1$ 仍为奇数，故平方偶数时原数不可能为奇数。

几何定义中的交集

在平面的非退化简单四边形中，把“矩形”定义为四角均为直角的四边形，把“菱形”定义为四边等长的四边形。正方形既是矩形又是菱形。因而正方形同时满足两个条件；只满足一个不够。长宽为 2 与 3 的矩形不是正方形；有一个角为 60° 的菱形也不是。

以四边形为全集，两块相交区域分别代表矩形与菱形，重合部分标出正方形；非正方形矩形和非正方形菱形各有例子 — 在约定的平面几何定义下，正方形恰是矩形集合与菱形集合的交集。

图中重合区域表示两个条件必须同时成立。它也提醒我们：采用包含式定义时，正方形本来就是矩形和菱形的一种；若日常语言把“矩形”专指“非正方形的长方形”，同一句“正方形是矩形”就会变成不同说法。数学写作需先固定用法，不能在一段证明中换掉。

定义与性质的分工

定义给出“称作什么”的标准；性质则是在这些标准和已有公理下需要证明的结论。例如“正方形的两条对角线等长”是性质，不必塞进定义。若另外有人把“对角线等长且四边等长的平面四边形”当作正方形的候选定义，还需检查前提是否足以排除退化或自交图形，并证明它与原定义等价。

好的定义也应避免循环：若用“与偶数差 1 的整数”定义奇数，同时又只用“与奇数差 1 的整数”定义偶数，读者没有独立的起点。实际组织知识时，可以先确定整数、乘法与 $2 k$ 的含义，再定义偶数，最后推导奇数的等价刻画。数学命题讨论怎样把定义放进有真假可判的陈述，公理化方法则讨论哪些最初的关系不再用同一理论内的词语继续定义。

参考资料